| Sequência didática |
Ângulos centrais, ângulos inscritos, arcos de circunferência e polígonos regulares
Nesta sequência didática, serão desenvolvidas atividades utilizando ferramentas de um software de geometria dinâmica para estabelecer relações entre ângulos centrais e ângulos inscritos correspondentes a um mesmo arco de circunferência. Também será explorada a construção de polígonos regulares, utilizando instrumentos de desenho geométrico.
A BNCC na sala de aula
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Objetos de conhecimento |
Relações entre arcos e ângulos na circunferência de um
círculo. Polígonos regulares. |
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Competência específica |
6. Enfrentar situações-problema em múltiplos contextos,
incluindo-se situações imaginadas, não diretamente relacionadas com o aspecto
prático-utilitário, expressar suas respostas e sintetizar conclusões,
utilizando diferentes registros e linguagens (gráficos, tabelas, esquemas,
além de texto escrito na língua materna e outras linguagens para descrever
algoritmos, como fluxogramas, e dados). |
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Habilidades |
(EF09MA11) Resolver problemas por meio do estabelecimento
de relações entre arcos, ângulos centrais e ângulos inscritos na
circunferência, fazendo uso, inclusive, de softwares de
geometria dinâmica. (EF09MA15) Descrever, por escrito e por meio de um
fluxograma, um algoritmo para a construção de um polígono regular cuja medida
do lado é conhecida, utilizando régua e compasso, como também softwares. |
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Objetivos de aprendizagem |
Estabelecer a relação entre ângulos centrais e ângulos
inscritos correspondentes a um mesmo arco de circunferência. Construir polígono regular utilizando instrumentos de
desenho. |
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Conteúdos |
Ângulos centrais. Ângulos inscritos. Arcos de circunferência. Polígonos regulares. |
Computadores com software de geometria dinâmica.
Régua.
Compasso.
Transferidor.
Folhas de papel sulfite.
Calculadora.
Desenvolvimento
Quantidade de aulas: 5.
Aulas 1 e 2
Agendar para que essas aulas sejam realizadas no laboratório de informática. Organizar os alunos em duplas e propor que utilizem as ferramentas de algum software de geometria dinâmica para representar circunferências. Deixá-los fazer algumas construções livremente e, depois, propor que façam as seguintes representações a fim de que se familiarize com as ferramentas do software:
uma circunferência de raio de 5 unidades de comprimento (u.c.);
uma circunferência, dados o centro e um ponto dela;
uma circunferência, dados três pontos dela;
arcos de circunferência de raio unitário com indicação do ângulo central.
Explicar aos alunos que o objetivo dessas aulas será estabelecer relações entre arcos, ângulos centrais e ângulos inscritos na circunferência. Em seguida, orientar que deixem visível na área de trabalho do software apenas a malha quadriculada principal, sem os eixos do plano cartesiano. Também é importante que a distância entre os quadrinhos da malha seja fixa de modo que, ao ampliar ou reduzir a visualização da malha (aplicar zoom), a quantidade de quadrinhos não se altere, conforme indicado nas figuras a seguir.
Elaborado pelo autor.
Circunferência de raio unitário representada na malha quadriculada (sem zoom).
Circunferência de raio unitário representada na malha quadriculada (com zoom).
Elaborado pelo autor.
Se possível, configurar o ambiente de trabalho do software dessa maneira antes da aula. Após fazer essas considerações, e com o ambiente de trabalho do software configurado adequadamente, propor a eles que façam os procedimentos indicados a seguir.
1º) Represente uma circunferência C' de raio unitário e centro no ponto A.
2º) Represente dois pontos B e C dessa circunferência e, em seguida, o arco 
.
3º) Represente os segmentos de reta AB e AC e o ângulo BAC, deixando visível a medida de BÂC.
4º) Marque um ponto D sobre a circunferência, fora do arco 
, e construa o ângulo inscrito BDC e meça-o.
Espera-se que os alunos finalizem o procedimento obtendo a seguinte representação:
Elaborado pelo autor.
Orientar os alunos a construírem um quadro como o indicado a seguir. Para isso, eles podem utilizar uma planilha eletrônica para determinar a razão entre as medidas do ângulo central e do ângulo inscrito correspondentes.
Medida do ângulo central BAC | Medida do ângulo inscrito BDC | |
70,24° | 35,12° | 2 |
Após terem organizado o quadro, solicitar que façam o registro das medidas e determinem a razão indicada. Em seguida, propor que movimentem o ponto C de modo que o ângulo central BAC e o ângulo inscrito BDC sejam ajustados. Pedir que anotem as novas medidas e razões no quadro elaborado anteriormente.
Medida do ângulo central BAC | Medida do ângulo inscrito BDC | |
70,24° | 35,12° | 2 |
90° | 45° | 2 |
130,8° | 65,4° | 2 |
280° | 140° | 2 |
Exemplo de medidas e razões que podem ser obtidas.
Ao finalizarem, promover uma roda de conversa a fim de que os alunos compartilhem as medidas aferidas e conversem sobre a relação entre a medida do ângulo central e a medida do ângulo inscrito correspondentes a um mesmo arco de circunferência. Espera-se que eles percebam que, nesse caso, a medida do ângulo central corresponde ao dobro da medida do ângulo inscrito. Propor que sistematizem essa relação, coletiva e colaborativamente, escrevendo um texto para explicá-la.
Aula 3
Retomar a relação entre as medidas do ângulo central e do ângulo inscrito correspondentes a um mesmo arco de circunferência, explorada na aula anterior. Explicar aos alunos que, nessa aula, eles explorarão a construção de polígonos regulares a partir da medida do ângulo central e, depois, determinarão estratégias de representar um polígono regular, dada a medida de seus lados.
Organizar os alunos em grupos de até quatro integrantes e propor a eles que representem, em uma folha de papel sulfite, uma circunferência C' com centro no ponto O e façam os procedimentos indicados a seguir.
1º) Marcar um ponto A na circunferência e representar o segmento de reta OA.
2º) Dividir 360° por 3 e representar o ângulo central AOB com a medida determinada (120°).
3º) Com a abertura do compasso equivalente à medida AB e com centro no ponto B, traçar um arco de circunferência que cruze a circunferência C' e marcar nesse cruzamento o ponto C.
4º) Traçar , e e colorir a região interna para representar o triângulo ABC.
Ao finalizarem, perguntar qual tipo de polígono foi obtido, conduzindo-os a perceber que se trata de um triângulo equilátero. Após isso, solicitar que construam, seguindo procedimentos análogos, um quadrado e um pentágono regular e anotem o passo a passo utilizado nessas construções.
Possibilitar que compartilhem o passo a passo com os demais grupos a fim de que percebam os procedimentos mais práticos. Espera-se que eles percebam que, para determinar o quadrado, pode-se representar um ângulo central de 90° (360° : 4 = 90°) e para representar um pentágono regular, um ângulo central de 72° (360° : 5 = 72°).
Para finalizar a aula, propor que elaborem um fluxograma para representar o passo a passo da construção de um polígono regular qualquer a partir da quantidade de lados do polígono e a relação com o ângulo central de uma circunferência.
Aulas 4 e 5
Para iniciar essas aulas, solicitar aos alunos que compartilhem os fluxogramas elaborados na aula anterior e que comentem os processos indicados neles. Após isso, questionar como poderiam representar, utilizando régua e compasso, um polígono regular, dada a medida dos lados.
Organizá-los em grupos de até três integrantes e propor que conversem entre si para descrever um passo a passo para a construção de um triângulo equilátero de lados medindo 12 cm, por exemplo. Eles devem realizar e explorar as construções, validando aquelas em que obtiverem o resultado esperado e registrando-a em um algoritmo. Enquanto realizam a atividade, circular pela sala de aula para orientar os grupos nas construções, validar os procedimentos e auxiliá-los quanto às construções.
Depois, solicitar que compartilhem os algoritmos e que um grupo verifique o procedimento proposto pelo outro. De maneira análoga, explorar a construção de um quadrado e de um hexágono regular, dada a medida dos lados de cada um desses polígonos. Para finalizar a aula, elaborar um texto de maneira a sistematizar as construções realizadas nessas aulas.
Para trabalhar dúvidas
Verificar se os alunos sabem construir ângulos, mediatrizes e bissetriz (que podem ser necessárias para representar os polígonos regulares). Para auxiliar e facilitar os procedimentos necessários para as construções geométricas propostas, pode-se indicar que utilizem esquadros e transferidor.
Do mesmo modo, pode-se imprimir algumas representações de circunferência e de ângulos centrais e inscritos correspondentes a um mesmo arco para que os alunos meçam esses ângulos e verifiquem a relação estudada.
Avaliação
Avaliar se os alunos conseguiram utilizar as ferramentas do software de geometria dinâmica e os instrumentos de desenho geométrico. Verificar se compreendem a relação entre a medida do ângulo central e a do ângulo inscrito correspondentes a um mesmo arco de circunferência e se representam adequadamente polígonos regulares, dada a medida dos lados.
Propor também algumas atividades como as sugeridas a seguir.
1. Represente uma circunferência de 10 cm de diâmetro e um ângulo central de 50°. Depois, determine o comprimento do arco 
correspondente a esse ângulo e a medida de um ângulo inscrito correspondente a esse mesmo arco.
O aluno deve representar uma circunferência com raio de 5 cm e um ângulo central de 50°. O comprimento do arco 
correspondente a esse ângulo central será aproximadamente de 4,36 cm. Já o ângulo inscrito deve ter 25°, correspondente à metade do ângulo central.
2. Represente um triângulo equilátero e um hexágono regular cujos lados medem 4 cm. Depois, explique o passo a passo utilizado nessas construções.
Verificar a representação dos polígonos regulares e o procedimento indicado pelo aluno.
Ampliação
Pode-se usar as ferramentas do software de geometria dinâmica para explorar a relação entre ângulos centrais e ângulos inscritos, correspondentes a um mesmo arco de circunferência por meio de uma atividade investigativa. A construção de polígonos regulares, dada a medida de seus lados, também pode ser explorada por meio dessas ferramentas digitais.
Fonte: PNLD
