Os números reais e a utilização da notação científica

Sequência didática

Os números reais e a utilização da notação científica

Nesta sequência didática, será explorada a escrita de números em notação científica e retomada propriedades de potências.

A BNCC na sala de aula

bjetos de conhecimento	Potências com expoentes negativos e fracionários. Números reais: notação científica e problemas. Unidades de medida para medir distâncias muito grandes e muito pequenas. Unidades de medida utilizadas na informática.
Competência específica	3. Compreender as relações entre conceitos e procedimentos dos diferentes campos da Matemática (Aritmética, Álgebra, Geometria, Estatística e Probabilidade) e de outras áreas do conhecimento, sentindo segurança quanto à própria capacidade de construir e aplicar conhecimentos matemáticos, desenvolvendo a autoestima e a perseverança na busca de soluções.
Habilidades	(EF09MA03) Efetuar cálculos com números reais, inclusive potências com expoentes fracionários. (EF09MA04) Resolver e elaborar problemas com números reais, inclusive em notação científica, envolvendo diferentes operações. (EF09MA18) Reconhecer e empregar unidades usadas para expressar medidas muito grandes ou muito pequenas, tais como distância entre planetas e sistemas solares, tamanho de vírus ou de células, capacidade de armazenamento de computadores, entre outros.
Objetivo de aprendizagem	Reconhecer e empregar unidades usadas para expressar medidas muito grandes ou muito pequenas.
Conteúdos	Números reais. Notação científica. Propriedades de potência.

Materiais e recursos

Calculadora.

Desenvolvimento

Quantidade de aulas: 4.

Aula 1

Iniciar a aula explicando aos alunos que eles irão realizar a leitura de textos ou notícias veiculadas na mídia que tratem de medidas muito grandes ou muito pequeno. Organizar os alunos em pequenos grupos para que realizem a leitura de diferentes textos, selecionados previamente. A seguir, há algumas sugestões.

BBC. Por que 1 kg já não pesará 1 kg em 2019. Disponível em: <www.bbc.com/portuguese/geral-41789539>. Acesso em: 20 nov. 2018.

VEIGA, E. Astrônomos descobrem planeta parecido com a Terra a 'apenas' 6 anos-luz de distância. BBC News. Disponível em: <www.bbc.com/portuguese/geral-46210585>. Acesso em: 20 nov. 2018.

GARRET, F. Qual a diferença entre megabit, megabyte e 'mega'? Entenda as medidas. TECHTUDO – Informática. Disponível em: <www.techtudo.com.br/noticias/2018/07/qual-a-diferenca-entre-megabit-megabyte-e-mega-entenda-as-medidas.ghtml>. Acesso em: 20 nov. 2018.

SEDOR, F. A. Fósseis do Paraná. Curitiba: Museu de Ciências Naturais. 2014. Disponível em: <https://acervodigital.ufpr.br/bitstream/handle/1884/45931/Fosseis%20do%20Parana.pdf?sequence=1&isAllowed=y>. Acesso em: 21 nov. 2018.

CPRM. Serviço Geológico do Brasil. Roteiro Geológico sobre a Coluna White. (Santa Catarina). Disponível em: <www.cprm.gov.br/publique/media/gestao_territorial/geoparques/coluna_white/mesossaurus.html>. Acesso em: 21 nov. 2018.

UOL. Ciência e Saúde. Cientistas encontram primeiro coração fossilizado; e ele é brasileiro. Disponível em: <https://noticias.uol.com.br/ciencia/ultimas-noticias/redacao/2016/04/29/cientistas-encontram-primeiro-coracao-fossilizado-e-ele-e-brasileiro.htm>. Acesso em: 21 nov. 2018.

Folha de S. Paulo. 'Google', ou como ideia de infinito sempre intrigou a humanidade. Disponível em: <www1.folha.uol.com.br/colunas/marceloviana/2018/02/google-ou-como-ideia-de-infinito-sempre-intrigou-a-humanidade.shtml?loggedpaywall?loggedpaywall>. Acesso em: 21 nov. 2018.

Após realizarem a leitura dos textos selecionados para a aula, solicitar aos alunos que compartilhem as informações e expliquem o contexto deles. Em seguida, propor que destaquem quais números aparecem nesses e registrá-los na lousa.

Comentar que a notação científica pode ser utilizada para representar esses números e explicar como pode-se reescrevê-los utilizando essa notação.

Explicar que em situações como medir o tamanho de um vírus no laboratório e calcular a distância entre planetas, devido à natureza dos números obtidos nas medições ou cálculos, pode conter muitos algarismos. Nesse sentido, podemos utilizar a notação científica para escrever números reais muito pequenos ou muito grandes, por meio do uso de uma potência de base dez. Na notação científica, os números são representados da seguinte maneira:

$$a{‧10}^n$$

Em que a, chamado de coeficiente, é um número racional, com $1\le a<10$ e n, chamado de expoente, é um número inteiro. Assim, são exemplos de números reais e suas respectivas notações científicas:

$$\mathrm{0,0003}=3\bullet {10}^{-4}$$

$$14000000=\mathrm{1,4}\bullet {10}^7$$

Propor aos alunos as seguintes atividades.

1. Represente o número 32 000 em notação científica.

$\mathrm{3,2}\bullet {10}^4$

2. Represente, em notação científica, a massa aproximada de um elétron, que corresponde a 0,000000000000000000000000000911 g.

$\mathrm{9,11}\bullet {10}^{-28}g$

3. Represente o número 6 590 000 000 000 000 em notação científica.

$\mathrm{6,59}\bullet {10}^{15}$

Aula 2

Retomar os contextos das leituras realizadas na aula anterior e sobre a notação científica. Explicar que para representar um número em notação científica é possível utilizar operações com potências. Com isso, é importante revisar com os alunos as propriedades de potências.

Relembrar com os alunos que uma potência com expoente inteiro negativo e base diferente de zero, tem como resultado o inverso da base elevado ao oposto desse expoente, ou seja, o conceito de potências cujo expoente é negativo, a partir do contexto dos textos explorados na aula anterior. Nesta etapa, dialogar com os alunos sobre a resolução de atividades como as sugeridas a seguir:

1. Determine o valor de:

a) ${\left(\frac{2}{5}\right)}^{-2}$

${\left(\frac{5}{2}\right)}^2=\frac{25}{4}$

b) ${\left(\frac{10}{3}\right)}^{-1}$

${\left(\frac{3}{10}\right)}^1=\frac{3}{10}$

c) ${\left(\mathrm{0,5}\right)}^{-3}$

${\left(\frac{5}{10}\right)}^{-3}={\left(\frac{10}{5}\right)}^3=\frac{1000}{125}=8$

2. Classifique em verdadeiro (V) ou falso (F) cada item a seguir.

a) 0,212121 é um número racional.

b) $\frac{5}{3}$não é um número racional.

c) –1 é um número irracional.

d) O oposto de $\frac{13}{5}$é $-\frac{13}{5}$.

e) 0,999 = 1

a) V; b) F; c) F; d) V; e) F.

3. Determine o valor das expressões numéricas a seguir.

a) ${10}^{-3}‧{10}^3$

1

b) $5^{-6}‧{25}^4$

25

c) $8^{-3}:{16}^7$

$2^{-37}$

d) ${10}^{-3}‧{10}^{35}$

${10}^{32}$

e) ${188}^{72}:{188}^3$

${188}^{69}$

f) ${190}^{-3}‧{19}^3$

0,001

Corrigir as atividades na lousa retomando as propriedades das potências. Em seguida, propor aos alunos que utilizem o contexto dos textos utilizados na aula anterior ou que pesquisem novas notícias que explorem medidas muito grandes ou muito pequenas para elaborar quatro problemas envolvendo a notação científica e as operações com números reais, inclusive com potências com expoentes fracionários. Pedir para que finalizem a atividade em casa e levem os problemas elaborados na próxima aula.

Aulas 3 e 4

Com os alunos organizados em duplas, propor a eles que troquem entre si os problemas elaborados para que um resolva os do outro. Neste momento, acompanhar os grupos para verificar se os problemas elaborados contemplam as ideias de notação científica e operações com números reais e verificar as estratégias utilizadas para a resolução. Uma sugestão é que alguns dos problemas sejam reproduzidos na lousa e discutidos com a turma.

Para trabalhar dúvidas

Se julgar necessário, retomar as operações com números racionais. Também é possível disponibilizar aos alunos calculadoras para que eles confiram os resultados ou que analisem se as operações e propriedades estão sendo aplicadas adequadamente.

Avaliação

Propor algumas atividades de avaliação aos alunos, de modo a verificar a compreensão do conteúdo estudado. A seguir, algumas sugestões de atividades que podem ser utilizadas com essa finalidade.

1. Escreva as informações a seguir em notação científica e de modo que a unidade de medida seja o metro.

a) A distância entre a Terra e a Lua é de cerca de 384 400 km.

$\mathrm{3,844}{\bullet 10}^8$ m

b) A distância entre a Terra e o Sol é de cerca de 149 600 000 km.

$\mathrm{1,496}{\bullet 10}^{11}$ m

c) O diâmetro de um átomo é da ordem de 0,1 nanômetro.

${10}^{-10}$ m

2. A partir das informações da atividade anterior, determine:

a) Quantas vezes o diâmetro de um átomo é menor que a distância entre a Terra e a Lua.

$\mathrm{3,844}{\bullet 10}^{18}$

b) Quantas vezes o diâmetro de um átomo é menor que a distância entre a Terra e o Sol.

$\mathrm{1,496}\bullet {10}^{21}$

Ampliação

Pode-se propor aos alunos que realizem pesquisas de outros contextos em que é possível verificar medidas muito grandes ou pequenas em contexto de outras áreas, como Biologia, Astronomia, Física, Tecnologia etc. Para isso, eles podem consultar artigos científicos, por exemplo.

Fonte: PNLD

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Transformações geométricas

Sequência didática

Transformações geométricas

Nesta sequência didática, é proposta a identificação e a construção de figuras simétricas que exigem criatividade e engajamento por parte dos alunos, para que possam reconhecer as transformações simétricas.

A BNCC na sala de aula

Objeto de conhecimento	Transformações geométricas: simetrias de translação, reflexão e rotação.
Competências específicas	1. Reconhecer que a Matemática é uma ciência humana, fruto das necessidades e preocupações de diferentes culturas, em diferentes momentos históricos, e é uma ciência viva, que contribui para solucionar problemas científicos e tecnológicos e para alicerçar descobertas e construções, inclusive com impactos no mundo do trabalho. 5. Utilizar processos e ferramentas matemáticas, inclusive tecnologias digitais disponíveis, para modelar e resolver problemas cotidianos, sociais e de outras áreas de conhecimento, validando estratégias e resultados.
Habilidade	(EF08MA18) Reconhecer e construir figuras obtidas por composições de transformações geométricas (translação, reflexão e rotação), com o uso de instrumentos de desenho ou de softwares de geometria dinâmica.
Objetivo de aprendizagem	Reconhecer e construir figuras por meio de transformações geométricas.
Conteúdo	Transformações geométricas.

Materiais e recursos

Cartolina.

Fita adesiva.

Cola colorida.

Folha de papel sulfite;

Papel quadriculado.

Régua.

Lápis de cor.

Compasso.

Transferidor.

Desenvolvimento

Quantidade de aulas: 4.

Aula 1

Organizar os alunos em grupos, fixar três cartolinas na lousa e identificar cada uma delas com os títulos: reflexão, translação e rotação.

Entregar várias figuras impressas e solicitar para que um representante de cada grupo vá até o quadro para fixar nos cartazes a imagem correspondente a cada simetria. Ao final dessa sequência didática, há algumas figuras que podem ser utilizadas para essa finalidade.

Pode ser que identifiquem mais de uma simetria em cada imagem, por isso, é importante disponibilizar pelo menos duas cópias de cada. Se julgar necessário, explicar sobre os tipos de simetrias.

Em cada grupo, entregar cola colorida e folhas de papel sulfite. De maneira lúdica, apresentar a simetria de reflexão, orientando os alunos a colocar pequenas porções de cola no centro do papel sulfite e, em seguida, dobrar o papel ao meio, pressionando levemente a parte onde está a cola, e desdobrar logo em seguida. O resultado será de figuras coloridas, que apresentam a ideia de simétricas por reflexão. Destacar o eixo de simetria que se formou no vinco.

Entregar para cada aluno uma cópia da figura a seguir e propor que terminem de representá-la, de maneira que ela apresente simetria de reflexão em relação ao eixo destacado.

O aluno poderá também criar outras figuras para produzir a reflexão.

Aulas 2, 3 e 4

Organizar os alunos em duplas e apresentar a simetria de translação, utilizando um software de geometria dinâmica. Solicitar que construam uma figura e escolham a direção, sentido e distância da translação por meio de um vetor. Repetir o processo para que novas figuras sejam construídas a partir da simetria de translação.

Em seguida, propor que os alunos criem um padrão para compor faixas decorativas. Eles devem criar alguns modelos utilizando as ferramentas do software de geometria dinâmica para, depois, reproduzi-los em papel quadriculado. A seguir, um exemplo de faixa decorativa.

Após finalizarem, propor a construção de figuras simétricas por rotação em relação a um ponto, construindo figuras rotacionadas em determinado ângulo e sentido. A seguir um exemplo de construção, utilizando um software de geometria dinâmica.

Os desenhos produzidos poderão ser aproveitados para a confecção de cartões comemorativos. A criatividade nas construções poderá ter a participação do professor de Artes.

Orientar quanto à construção das figuras utilizando as ferramentas do software. É interessante que utilizem a ideia de coordenadas de pontos no plano cartesiano, para indicar os vértices de polígonos representados. Eles também podem compor as figuras sem preenchimento para que possam imprimi-las para colorir depois.

Para finalizar, propor aos alunos que elaborem um texto explicando os tipos de simetrias estudados e como podem obter figuras simétricas utilizando os recursos do software.

Para trabalhar dúvidas

Caso algum aluno apresente dificuldade na compreensão da construção de figuras simétricas, utilizando o software de geometria dinâmica, pode-se fazer uso de compasso e transferidor e demonstrar, por meio de construções geométricas com esses instrumentos, mostrando o processo de rotação, de translação ou de reflexão de uma figura geométrica plana.

Avaliação

As avaliações poderão ser feitas durante o processo de ensino e aprendizagem. Observar se os alunos conseguiram identificar os tipos de simetria em cada figura. Avaliar se eles utilizam os conceitos matemáticos de maneira correta na elaboração do texto. Além disso, preparar algumas atividades que possam colaborar com a avaliação, conforme as propostas a seguir.

1. Observe a figura a seguir e, depois, realize uma transformação geométrica em relação ao ponto P, realizando uma simetria de rotação de 210° no sentido horário.

Resposta pessoal.

2. Analise as transformações a seguir em que primeiro foi construído o triângulo ABC e, depois, por meio de uma transformação geométrica, o triângulo A'B'C' e, em seguida, o triângulo A"B"C".

Em relação às transformações geométricas para obter o triângulo A'B'C' e o triângulo A"B"C", pode-se dizer que:

a) primeiro foi realizada uma rotação do triângulo ABC em torno do ponto D e, depois, uma reflexão do triângulo A'B'C' em relação ao eixo x.

b) primeiro foi realizada uma rotação do triângulo ABC em torno do ponto D e, depois, mais uma rotação do triângulo A'B'C' em torno ao ponto D.

c) primeiro foi realizada uma rotação do triângulo ABC em torno do ponto O(0, 0) e, depois, uma reflexão do triângulo A'B'C' em relação ao eixo x.

d) primeiro foi realizada uma rotação do triângulo ABC em torno do ponto D e, depois, uma reflexão do triângulo A'B'C' em relação ao eixo y.

Alternativa A.

Ampliação

Pode-se propor aos alunos que façam uma pesquisa sobre a simetria em obras de arte explorando que a Matemática é uma ciência humana, fruto de necessidades e, até mesmo, de manifestações culturais e artísticas. Eles também podem pesquisar sobre o uso de técnicas de computação gráfica utilizadas na produção de jogos digitais ou para efeitos especiais em filmes, por exemplo, nas quais são aplicados diversos conceitos de geometria.

Seleção de figuras que podem ser utilizadas na aula 1

Aloe Polyphylla (ou babosa-espiral).

Jane Rix/Shutterstock.com

Universidade de Glasgow, na Escócia

Allexanderh/Shutterstock.com

Aeronaves.

filippo giuliani/Shutterstock.com

Remadores em um lago italiano.

Oktora/Shutterstock.com

Padrão floral árabe.

Manekina Serafima/Shutterstock.com

Borboleta com asas abertas.

mmalkani/Shutterstock.com

Padrões indianos com elefantes.

Kedofoto/Shutterstock.com

Montanha e lago em Taranaki, na Nova Zelândia.

Angga Dwi Iriyanto/Shutterstock.com

Textura geométrica feita com pedras

joserpizarro/Shutterstock.com

Arquitetura popular de casas geminadas.

Photographee.eu/Shutterstock.com

Vista dianteira de cadeiras em uma sala de espera.

Fonte: PNLD

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Mediatriz de um segmento de reta e bissetriz de um ângulo

Sequência didática

Mediatriz de um segmento de reta e bissetriz de um ângulo

Nesta sequência didática, serão abordados recursos para a compreensão dos conceitos de bissetriz de um ângulo e de mediatriz de um segmento de reta. Os alunos farão uso do software de geometria dinâmica para desenvolver as ideias de bissetriz e de mediatriz.

A BNCC na sala de aula

Objeto de conhecimento	Mediatriz e bissetriz como lugares geométricos: construção e problemas.
Competências específicas	5. Utilizar processos e ferramentas matemáticas, inclusive tecnologias digitais disponíveis, para modelar e resolver problemas cotidianos, sociais e de outras áreas de conhecimento, validando estratégias e resultados. 8. Interagir com seus pares de forma cooperativa, trabalhando coletivamente no planejamento e desenvolvimento de pesquisas para responder a questionamentos e na busca de soluções para problemas, de modo a identificar aspectos consensuais ou não na discussão de uma determinada questão, respeitando o modo de pensar dos colegas e aprendendo com eles.
Habilidade	(EF08MA17) Aplicar os conceitos de mediatriz e bissetriz como lugares geométricos na resolução de problemas.
Objetivo de aprendizagem	Resolver situações-problema envolvendo mediatriz de um segmento de reta e bissetriz de um ângulo.
Conteúdos	Mediatriz. Bissetriz.

Materiais e recursos

Varetas de bambu.

Linha para pipa.

Cola.

Tesoura escolar.

Papel de seda colorido.

Computadores com acesso à internet.

Desenvolvimento

Quantidade de aulas: 4.

Aulas 1 e 2

Escolher um software de geometria dinâmica, e, ao iniciar a aula, apresentá-lo aos alunos. A aula deverá ser desenvolvida na sala de informática para que eles possam explorar as ferramentas computacionais e, para isso, solicitar inicialmente que utilizem o programa para representar:

um ponto A;

uma semirreta AB e uma semirreta AC;

a semirreta AD, bissetriz do ângulo BAC.

Depois, pedir que determinem a medida de BÂC e dos ângulos formados entre a bissetriz e as semirretas AB e AC, ou seja, dos ângulos BAD e DAC. Com isso, espera-se que os alunos confiram experimentalmente que o ângulo BAC foi dividido em dois ângulos congruentes pela sua bissetriz. Deixar que os alunos explorem o software construindo vários ângulos e traçando suas bissetrizes.

Solicitar que salvem as construções, que abram um novo arquivo e que representem um segmento de reta AB qualquer. Indicar a ferramenta que traça mediatriz e solicitar que tracem a mediatriz do segmento de reta AB orientando que denotem por O o ponto de intersecção entre a mediatriz e o segmento de reta AB. Pedir que meçam os segmentos de retas AO e OB, bem como o ângulo determinado por esse segmento de reta e a mediatriz. Pedir também que meçam o segmento de reta OB e o ângulo determinado por esse segmento de reta e a mediatriz. Com isso, espera-se que os alunos verifiquem experimentalmente que a mediatriz divide o segmento de reta AB em dois segmentos de reta congruentes e que a mediatriz é perpendicular a esse segmento de reta.

Em seguida, propor alguns problemas que envolvam a ideia de bissetriz ou mediatriz, como os sugeridos a seguir. Para resolvê-los, orientar os alunos a utilizar as ferramentas do software.

1. No projeto de loteamento de um novo bairro, deseja-se construir uma avenida, indicada por um segmento de reta OC, que esteja à mesma distância de duas ruas, indicadas pelos segmentos de reta OA e OB e representadas a seguir. Represente essa avenida de maneira que satisfaça essa condição.

Espera-se que os alunos construam a bissetriz do ângulo AOB.

Elaborado pelo autor.

2. Os pontos A e B indicados a seguir representam a localização da prefeitura e do hospital, respectivamente, de uma cidade. Pretende-se construir uma nova rodoviária que esteja à mesma distância tanto da prefeitura quanto do hospital. Represente os pontos que satisfazem essa condição.

Resposta: Espera-se que os alunos construam a mediatriz do segmento de reta AB.

Elaborado pelo autor.

Após os alunos resolverem as atividades, solicitar que compartilhem e comparem as respostas obtidas. Se necessário, sistematizar a resolução conduzindo-os a perceber que a bissetriz e a mediatriz são os lugares geométricos que respondem as atividades 1 e 2, respectivamente.

Propor que elaborem outros problemas utilizando a ideia de bissetriz e de mediatriz e que utilizem as ferramentas do software para os resolver. Os problemas podem ser escritos utilizando um editor de textos para que, depois, sejam compartilhados em um blog da turma com a resolução. Incentivar os alunos a acessarem o blog e a resolver alguns dos problemas elaborados pelos colegas.

Aulas 3 e 4

Levar os alunos a perceber que a ideia de mediatriz e a de bissetriz podem estar presentes em contextos geométricos como a fabricação de pipas. Questionar os alunos se brincam com pipas e se sabem construir esse brinquedo. Se algum aluno souber fabricar algum tipo de pipa, deixar que fale algumas particularidades da fabricação explicando-as aos colegas.

Propor a construção de uma armação de pipas utilizando varetas de bambu e linhas de pipa. Passar as instruções orientando-os a medir o comprimento da vareta menor, e a fixar a vareta maior exatamente no ponto médio da outra. Ajustar para que os ângulos formados pelas varetas sejam ângulos retos, orientando-os quanto à fixação das varetas ao utilizar a linha.

Elaborado pelo autor.

Explorar matematicamente a construção fazendo questionamentos, como:

Quanto mede cada parte da vareta menor, de uma extremidade à vareta que a intersecta?

Qual é a medida de cada ângulo formado entre as varetas?

Formalizar com os alunos as propriedades encontradas. Alguns exemplos que poderão ser ditos por eles:

O encontro das varetas é no ponto médio da vareta menor.

As varetas são perpendiculares.

A vareta maior pode representar parte da bissetriz dos ângulos com origem na extremidade da vareta maior e definidos pelas linhas que compõe o contorno da pipa.

A vareta maior pode representar uma parte da mediatriz da vareta menor.

Propor a construção de pipas e possibilitar que os alunos compartilhem outros modelos que conhecem e que sabem construir para que explorem os objetos geométricos e percebam, principalmente, ideias de bissetriz e mediatriz nessas confecções.

Pode-se organizar uma manhã de convivência com as famílias para a produção de pipas com premiações: a mais colorida, a maior pipa, a mais alta etc.

Para trabalhar dúvidas

Caso algum aluno apresente dificuldade, o professor deverá intervir com atividades complementares e auxiliá-lo nessa superação. É importante que o aluno com dificuldade registre, no caderno, as estratégias de resolução das atividades para que ele possa fazer consultas futuras caso haja necessidade. Escolher alguns alunos da turma e pedir a eles que apresentem os conceitos que foram estudados nessa sequência didática.

Avaliação

Verificar se os alunos utilizam a ideia de mediatriz e de bissetriz na resolução de problemas. Propor algumas questões como as indicadas a seguir para verificar se assimilaram os conteúdos.

1. Natália e Júlia costumam ir juntas para o trabalho e sempre se encontram em um ponto que esteja na mesma distância de suas casas. Represente a casa de Natália e Júlia por meio dos pontos A e B e, depois, determine ao menos cinco possíveis pontos em que elas poderiam se encontrar, de modo que esses pontos estejam à mesma distância da casa de ambas.

Verificar se o aluno considera que qualquer ponto da mediatriz do segmento de reta AB é solução para o problema.

2. Represente a bissetriz dos ângulos indicados a seguir.

a)

b)

Elaborado pelo autor.

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