SEQUÊNCIAS DIDÁTICAS: e expressões algébricas

Sequência didática

Sequências e expressões algébricas

Nesta sequência didática serão exploradas algumas sequências definidas de maneira recursiva, numéricas e figurais, para realizar o estudo com expressões algébricas.

A BNCC na sala de aula

Linguagem algébrica: variável e incógnita.Objetos de conhecimento

Equivalência de expressões algébricas: identificação da regularidade de uma sequência numérica.

Competência específica

2. Desenvolver o raciocínio lógico, o espírito de investigação e a capacidade de produzir argumentos convincentes, recorrendo aos conhecimentos matemáticos para compreender e atuar no mundo.

Habilidades

(EF07MA13) Compreender a ideia de variável, representada por letra ou símbolo, para expressar relação entre duas grandezas, diferenciando-a da ideia de incógnita.

(EF07MA14) Classificar sequências em recursivas e não recursivas, reconhecendo que o conceito de recursão está presente não apenas na matemática, mas também nas artes e na literatura.

(EF07MA15) Utilizar a simbologia algébrica para expressar regularidades encontradas em sequências numéricas.

(EF07MA16) Reconhecer se duas expressões algébricas obtidas para descrever a regularidade de uma mesma sequência numérica são ou não equivalentes.

Objetivo de aprendizagem

Reconhecer o padrão que determina sequências numéricas e representá-lo por meio de uma expressão algébrica.

Conteúdo

Expressões algébricas.

Materiais e recursos

Projetor multimídia e/ou sequências de figuras impressas.

Desenvolvimento

Quantidade de aulas: 4.

Aulas 1 e 2

Iniciar a aula organizando os alunos em duplas e conversar com eles a respeito da utilização de alguns símbolos em diversas situações do dia a dia. Pode-se explorar, por exemplo, os símbolos utilizados para indicar sinalizações no trânsito ou atendimento preferencial. Para isso, apresentar algumas imagens de símbolos utilizadas em placas de trânsito, como as sugeridas a seguir.

Elaborado pelo autor.

Sinalização que indica "dê a preferência".

Elaborado pelo autor.

Sinalização que indica "proibido estacionar".

Pode-se propor a leitura de notícias veiculadas na mídia relacionadas aos símbolos de Acessibilidade, como as sugeridas a seguir.

VENTURA, L. A. S. ONU cria novo símbolo para acessibilidade. Estadão. Disponível em: <https://brasil.estadao.com.br/blogs/vencer-limites/onu-cria-novo-simbolo-para-acessibilidade>. Acesso em: 22 out. 2018.

PREFEITURA DE SÃO PAULO. Símbolos de acessibilidade. Disponível em: <www.prefeitura.sp.gov.br/cidade/secretarias/pessoa_com_deficiencia/a_imprensa/index.php?p=262211>. Acesso em: 22 out. 2018.

Desenvolver a conversa perguntando aos alunos que outros símbolos eles conhecem, onde são utilizados, qual a importância de seu uso para a vida em sociedade e se acham que esses símbolos são sempre respeitados no dia a dia pelas pessoas.

Em seguida, perguntar aos alunos se na Matemática também são utilizados símbolos e solicitar que citem os que lembrarem. Comentar que, na Matemática, são utilizados símbolos em diversas situações, como por exemplo para indicar operações ou uma igualdade. Relembrar que, em Álgebra, letras podem ser utilizadas como símbolos para representar números desconhecidos (incógnitas) ou números que podem variar (variáveis).

Antes de iniciar o trabalho com expressões algébricas e sequências, propor aos alunos que escrevam as igualdades a seguir no caderno, acrescentando parênteses de maneira que elas sejam verdadeiras.

15 + 3 ‧ 4 = 72

(15 + 3) ‧ 4 = 72

25 – 5 : 5 + 5 = 2

(25 – 5) : (5 + 5) = 2

32 : 8 – 4 ‧ 17 = 0

(32 : 8 – 4) ‧ 17 = 0

32 : 8 – 4 ‧ 17 = 136

32 : (8 – 4) ‧ 17 = 136

Após resolverem os itens propostos, solicitar que cada aluno:

pense em um número entre 1 e 10;

adicione 5 a esse número;

multiplique o resultado obtido por 3;

subtraia 15 desse resultado;

divida o resultado por 3.

Perguntar que número eles obtiveram como resultado, que deve ser igual ao número escolhido inicialmente. Na lousa, realizar simulações para que os alunos percebam que independentemente do número escolhido, o resultado final sempre será o número inicial, e questioná-los por que isso acontece. Por exemplo:

Solicitar que escrevam uma expressão algébrica que represente o resultado obtido a partir dos procedimentos citados e registrá-la na lousa.

$\left[\right(x+5)‧3-15]:3$, com $1<x<10$

Com os alunos, simplificar essa expressão e verificar se eles percebem que ela é equivalente a "x", que corresponde ao número que escolherem inicialmente.

$$\left[\left(x+5\right)‧3-15\right]:3$$	=	$\left[3x+15-15\right]:3$=
	=	$\left[3x\right]:3$= $x$

Explicar que as letras em uma expressão algébrica, como nesse caso, são chamadas de variáveis e podem ser substituídas por qualquer número, salvo possíveis restrições estabelecidas inicialmente.

Agora, escrever na lousa a expressão algébrica e a equação a seguir, a fim de que percebam diferenças entre variável e incógnita.

$2x+3$ e $2x+3=5$

Solicitar que atribuam alguns valores para x na expressão algébrica, como exemplos a seguir, e verifiquem os resultados obtidos.

$2\bullet 1+3=5$

$2\bullet 2+3=7$

$2\bullet \left(-2\right)+3=-1$

Verificar se os alunos perceberam que, na expressão algébrica, x pode ser substituído por qualquer número, diferentemente da equação, em que, dependendo do número que substituir x, a igualdade não se mantém verdadeira. Dizer que, nesse caso, x só pode ser substituído por 1 na equação. E, ainda, que as letras que representam números desconhecidos em uma equação são chamadas de incógnitas.

É importante que os alunos compreendam a diferença entre incógnita e variável. Propor algumas atividades, como as sugeridas a seguir, para explorar esses conceitos.

1. Sabe-se que o produto entre dois números naturais é 12.

a) O que podemos utilizar para representar essa situação: uma expressão algébrica ou uma equação? Escreva-a.

Uma equação. Uma resposta possível: $x\bullet y=12$.

b) No item anterior, você utilizou alguma letra para escrever uma expressão algébrica ou uma equação? Elas são incógnitas ou variáveis?

Sim. Incógnitas.

c) Determine quais são os dois números naturais cujo produto é igual a 12.

Algumas respostas possíveis: 1 e 12; 2 e 6; 3 e 4.

2. Observe a representação de retângulo a seguir e determine seu perímetro.

4a + 4.

Elaborado pelo autor.

Para finalizar essas aulas, propor que cada dupla elabore um problema ou alguns procedimentos para se adivinhar um número, envolvendo expressões algébricas ou equações. Em seguida, solicitar que troquem o problema com outra dupla e que resolvam o problema elaborado por ela.

Aulas 3 e 4

Iniciar a aula organizando os alunos em duplas e representar na lousa a seguinte sequência de figuras formadas por círculos.

Elaborado pelo autor.

Perguntar aos alunos como eles acham que seria a próxima figura dessa sequência e que justifiquem suas respostas.

Conduzir a atividade de modo que os alunos percebam, por exemplo, que a partir da primeira figura, são acrescentados um círculo na fileira vertical e um círculo na fileira horizontal a cada uma das figuras seguintes. A partir disso, concluir com o apoio deles que, para uma figura de posição n (sendo n um número natural maior do que 0), é possível indicar a quantidade de círculos que compõem a figura pela seguinte expressão algébrica:

$$1+\left(n–1\right)+(n–1)$$

Que é equivalente a:

$$2n-1$$

Após esse momento, propor outras atividades, como as sugeridas a seguir.

1. São apresentadas a seguir as primeiras figuras de uma sequência. Essas figuras são formadas por quadrinhos. Observe e responda às questões.

Elaborado pelo autor.

a) A primeira figura dessa sequência é formada por quantos quadrinhos? Essa quantidade corresponde a um número quadrado perfeito?

9 quadrinhos. Sim.

b) Realize as questões do item anterior para a segunda e terceira figuras.

Figura 2: 16 quadrinhos; sim. Figura 3: 25 quadrinhos; sim.

c) De quantos quadrinhos você acha que seria composta a Figura 4?

Resposta esperada: 36 quadrinhos.

d) Escreva uma expressão algébrica para representar a sequência da quantidade de quadrinhos de cada figura, sendo n a posição da figura na sequência (com n um número natural maior do que zero).

Resposta esperada: (n+2)² que é equivalente a n²+4n+4.

2. A sequência a seguir é a dos números primos:

2,  3,  5,  7,  11,  13,  17,  19,  23,  29,  31, ...

a) Qual é o próximo número dessa sequência?

37

b) Existe alguma expressão algébrica que permita determinar qualquer termo dessa sequência de maneira não recursiva?

Explicar aos alunos que não há uma expressão algébrica que permita determinar qualquer termo da sequência dos números primos de maneira não recursiva.

3. Observe abaixo uma sequência de figuras formadas por triângulos equiláteros.

Elaborado pelo autor.

Agora responda:

a) Quantos segmentos de reta, correspondente a um lado desses triângulos equiláteros, compõem cada uma dessas três primeiras figuras da sequência?

1ª figura: 3 segmentos de reta; 2ª figura: 5 segmentos de reta; 3ª figura: 7 segmentos de reta.

b) Escreva uma expressão algébrica para determinar a quantidade de segmentos de reta, lado de algum desses triângulos equiláteros, que compõem a n-ésima figura dessa sequência.

2n + 1.

c) Quantos segmentos de reta, lado de algum desses triângulos equiláteros, compõem a 4ª figura dessa sequência? E a 10ª figura?

9 segmentos de reta. 21 segmentos de reta.

d) Certa figura dessa sequência é formada por 47 segmentos de reta, lado de algum desses triângulos equiláteros. Qual a posição ocupada por essa figura na sequência?

23ª figura da sequência.

Para finalizar a aula, propor aos alunos que elaborem uma sequência numérica que possa ser expressa por uma sequência de figuras, como exemplificado nas atividades apresentadas.

Para trabalhar dúvidas

Verificar se os alunos conseguem generalizar sequências numéricas ou figurais por meio de expressões algébricas. Para auxiliá-los, pode-se, por exemplo, propor uma expressão algébrica e depois listar os primeiros termos da sequência obtida a partir dela. Procurar utilizar sequências que os alunos já compreenderam os padrões ou já generalizaram por meio de expressões algébricas.

Avaliação

Propor algumas atividades, como as sugeridas a seguir, para verificar se os alunos compreenderam e assimilaram os conceitos explorados nas aulas propostas nesta sequência didática.

1. Para cada sequência numérica a seguir, liste os quatro próximos termos.

a) 7, 11, 15, 19, 23

Resposta esperada: 27, 31, 35, 39.

b) 18, 13, 8, 3, –2

Resposta esperada: –7, –12, –17, –22.

c) 1, 8, 27, 64, 125

Resposta esperada: 216, 343, 512, 729.

d) 10, 110, 1 110, 11 110, 111 110

Resposta esperada: 1 111 110, 11 111 110, 111 111 110, 1 111 111 110.

2. Sendo n um número natural maior do que zero, liste os quatro primeiros termos das sequências dadas por:

a) n² + n

2, 6, 12, 20.

b) n² – n

0, 2, 6, 12.

c) 2n – 3n

–1, –2, –3, –4.

3. Observe a sequência de figuras a seguir e determine uma expressão que indique a quantidade de pontos que formam a figura de posição n, sendo n um número natural maior do que zero.

Elaborado pelo autor.

Resposta esperada: 2n+3.

Fonte: PNLD

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