| Sequência didática |
Expressões de cálculo de área de quadriláteros e de triângulos
A BNCC na sala de aula
Equivalência de área de figuras planas: cálculo de áreas de figuras que podem ser decompostas por outras, cujas áreas podem ser facilmente determinadas como triângulos e quadriláteros.Objeto de conhecimento
Competência específica
3.Compreender as relações entre conceitos e procedimentos dos diferentes campos da Matemática (Aritmética, Álgebra, Geometria, Estatística e Probabilidade) e de outras áreas do conhecimento, sentindo segurança quanto à própria capacidade de construir e aplicar conhecimentos matemáticos, desenvolvendo a autoestima e a perseverança na busca de soluções.
Habilidades
(EF07MA31) Estabelecer expressões de cálculo de área de triângulos e de quadriláteros.
(EF07MA32) Resolver e elaborar problemas de cálculo de medida de área de figuras planas que podem ser decompostas por quadrados, retângulos e/ou triângulos, utilizando a equivalência entre áreas.
Objetivo de aprendizagem
Estabelecer expressões de cálculo de área de quadriláteros e triângulos e utilizá-las na elaboração de problemas.
Conteúdos
Área de quadriláteros.
Área de triângulos.Materiais e recursos
Folha de papel com malha quadriculada.
Transferidor.
Régua.
Lápis de cor.
Tesoura escolar.
Computador com software de geometria plana instalado.
Projetor multimídia.
Desenvolvimento
Quantidade de aulas: 6.
Aulas 1 e 2
Iniciar a aula perguntando aos alunos sobre como podem determinar a área de quadrados e de retângulos. Apresentar a eles figuras de retângulos em malha quadriculada, considerando cada representação de quadradinho da malha como unidade de medida de área. Em seguida, pedir aos alunos que determinem a área de cada uma das figuras. Alguns exemplos de figuras estão indicados a seguir.
Elaborado pelo autor.
A partir das figuras de retângulos apresentadas, explorar e ampliar a ideia de que para determinar a área dessas figuras, considerando cada representação de quadradinho da malha como unidade de medida de área, basta verificar a quantidade de representações de quadradinho de cada linha e de cada coluna da malha. Essa ideia é conhecida por disposição retangular, a qual é uma organização de elementos em que as linhas possuem a mesma quantidade de elementos, o que também ocorre com as colunas.
Após perceber que essa ideia está bem assimilada pelos alunos, representar a área de retângulos por meio da seguinte expressão, que indica a relação entre a medida do comprimento (a) e a medida da largura (b).
Área do retângulo = medida do comprimento · medida da largura
Área do retângulo =
Questionar os alunos sobre a relação entre a área do retângulo e do quadrado. Espera-se que eles relembrem que o quadrado é um caso particular de retângulo, em que os lados têm medidas iguais. Assim, para expressar a área do quadrado de lado medindo a, é possível multiplicar a medida de um lado por si mesma:
Área do quadrado = lado · lado
Área do quadrado =
Área do quadrado =
Organizar os alunos em pequenos grupos, de até quatro integrantes, e distribuir a eles malhas quadriculadas. Em seguida, propor aos alunos que representem na malha quadriculada um paralelogramo qualquer e discutam como podem determinar a área dessa figura. Após eles conversarem sobre isso, pedir que recortem o paralelogramo representado e, mantendo a área original dele, tentem compor um retângulo. Reservar um tempo para essa composição. Neste momento, é importante acompanhar os grupos e orientá-los a fim de que mantenham a área original do paralelogramo.
Após as tentativas, explicar aos alunos uma maneira de realizar a composição do retângulo. Se possível, pode-se utilizar um software e indicar as seguintes etapas:
1ª)
2ª)
Elaborado pelo autor.
Questionar os alunos sobre qual é a relação entre a medida do comprimento do retângulo e a medida da base do paralelogramo original e, ainda, sobre a relação entre a medida da largura do retângulo e a medida da altura do paralelogramo original. Espera-se que eles percebam que como o retângulo obtido e o paralelogramo são formados pelas mesmas figuras, eles têm a mesma área. Em seguida, fazer a associação entre a área do retângulo e do paralelogramo e apresentar a área do paralelogramo por meio da seguinte expressão, que indica a relação entre a medida da base (b) e a medida da altura (h).
Área do paralelogramo = medida da base · medida da altura
Área do paralelogramo =
De maneira análoga, distribuir malhas quadriculadas aos alunos e propor a eles que indiquem uma expressão que determina a área de trapézios. Solicitar aos alunos que representem um trapézio qualquer na malha quadriculada e que, a partir dele, realizem decomposições a fim de obter figuras cujas expressões de área são conhecidas, isto é, um retângulo ou um paralelogramo. Orientar que em cada grupo os trapézios representados sejam congruentes.
Enquanto os alunos tentam obter um retângulo e/ou um paralelogramo a partir do trapézio representado na malha quadriculada, acompanhar os grupos e verificar as estratégias utilizadas.
Depois, propor aos alunos que tentem obter um paralelogramo a partir de dois trapézios congruentes. Após as tentativas, explicar aos alunos uma maneira de realizar a composição do paralelogramo. Se possível, pode-se utilizar um software e indicar as seguintes etapas:
1ª)
2ª)
Elaborado pelo autor.
Propor aos alunos que recortem os trapézios representados e verifiquem se, em cada grupo, eles conseguem determinar o paralelogramo como apresentado nas etapas. Em seguida, questioná-los sobre qual a relação da área do paralelogramo obtido e a do trapézio original, associando a medida da base do paralelogramo à soma das medidas da base maior e a base menor do trapézio; e a medida da altura tanto do trapézio quanto do paralelogramo são congruentes.
Espera-se que os alunos compreendam que como os dois trapézios que compõem o paralelogramo são idênticos, a área de cada um deles é igual à metade da área do paralelogramo. Assim, pedir a eles que determinem primeiramente a área do paralelogramo e, depois, a do trapézio. Nesse caso, explicar aos alunos que considerem B a medida da base maior; b a medida da base menor; h a medida da altura do trapézio. A área do paralelogramo pode ser expressa da seguinte maneira:
Área do paralelogramo =
A partir dessa expressão, os alunos devem determinar a área do trapézio original, como indicada a seguir.
Área do trapézio =
Para finalizar a aula, solicitar aos alunos que elaborem um texto explicando como obter a área de paralelogramos e trapézios a partir da área de retângulos e registrando as expressões que determinam as áreas das figuras estudadas.
Aula 3
Iniciar a aula retomando o que foi explorado na aula anterior em relação às áreas do retângulo, paralelogramo e trapézio. Com os alunos organizados em grupos, preferencialmente os mesmos da aula anterior, propor uma atividade para que eles determinem uma maneira de expressar a área do triângulo a partir das áreas de retângulos ou paralelogramos. Nessa atividade, disponibilizar aos alunos malhas quadriculadas.
Acompanhar os grupos para verificar as estratégias utilizadas pelos alunos. Caso julgar necessário, orientá-los apresentando maneiras que podem obter um triângulo a partir de um paralelogramo, dividindo-o por meio da diagonal, por exemplo, como ilustrado na figura a seguir.
Elaborado pelo autor.
Orientar os alunos também a obter a expressão que indica a área de triângulos, relacionando a medida da base do triângulo à medida da base do paralelogramo e que a medida da altura desses polígonos também são congruentes. Assim, como os dois triângulos que compõem o paralelogramo são idênticos, a área de cada um deles é igual a metade da área do paralelogramo. Considerando b a medida da base e h a medida da altura do triângulo, a área do triângulo pode ser expressa por:
Área do triângulo =
Por fim, propor aos alunos que determinem a área de losangos, representando um losango na malha quadriculada e decompondo-o em figuras conhecidas, como a de dois triângulos, conforme indicado a seguir.
Elaborado pelo autor.
Questionar a relação entre os triângulos obtidos de maneira que os alunos percebam que eles são congruentes. Em seguida, relacionar a medida da base dos triângulos à diagonal maior (D) do losango e a altura de cada triângulo à metade da diagonal menor (d) do losango, a fim de que percebam que a área do losango é o dobro da área de um desses triângulos e pode ser expressa por:
Área do losango = =
Para finalizar a aula, solicitar aos alunos que elaborem um texto explicando as estratégias utilizadas para determinar a área de triângulos e losangos e que façam um resumo com as expressões que determinam as áreas das figuras estudadas.
Aulas 4, 5 e 6
Iniciar a aula propondo aos alunos um problema como o sugerido a seguir.
O prédio onde Luciana mora tem um terreno representado pela figura indicada a seguir. Como ainda não há projeto algum de utilização para o terreno, ela quer propor na próxima reunião do condomínio a construção de um espaço de lazer. Qual a área desse terreno?
Elaborado pelo autor.
Imagem sem escala.
105 m².
Após a resolução deste problema, pedir aos alunos que compartilhem as estratégias utilizadas e, por fim, realizar a correção na lousa com eles . Em seguida, propor aos alunos que se reúnam em duplas e, a partir dos conhecimentos trabalhados nas aulas anteriores, elaborarem seis problemas envolvendo o cálculo da área de uma figura decomposta em quadriláteros e/ou triângulos. Para isso, disponibilizar a eles malha quadriculada para que realizem as representações das figuras.
Enquanto os alunos elaboram os problemas, acompanhar as duplas e orientá-las em relação a coerência dos enunciados e da representação das figuras, retomando, quando necessário, a condição de existência de triângulos, por exemplo.
Reservar cerca de 30 minutos da aula para que as duplas apresentem aos demais alunos um dos problemas elaborados. Pode-se tirar uma fotografia da figura representada pela dupla e utilizar projetor multimídia para apresentá-la aos demais alunos. Depois, solicitar aos alunos que troquem os problemas elaborados com outra dupla para resolverem. Ao final, verificar as estratégias utilizadas pelos alunos e, se julgar necessário, corrigir na lousa aqueles problemas que eles apresentarem maior dificuldade na resolução.
Para trabalhar dúvidas
Verificar se os alunos compreendem a expressão que indica a área de retângulos e se conseguem associá-la às representações dos quadriláteros e triângulos para determinar a expressão da área dessas figuras. Averiguar se os alunos conseguem utilizar expressões algébricas de maneira correta e retomar o conteúdo, se julgar necessário. Para verificar a área de algumas figuras e a validade das expressões, possibilitando melhor assimilação, pode-se representar quadriláteros e triângulos no software de geometria dinâmica. Pedir aos alunos que determinem a área delas e, depois, utilizar as ferramentas do software para verificar a área de cada uma.
Avaliação
Verificar se os alunos conseguem utilizar as expressões da área de quadriláteros e de triângulos na resolução de problemas. Averiguar se eles exploram figuras que podem ser decompostas em quadriláteros e/ou em triângulos na elaboração de situações que envolvem a área dessas figuras.
Utilizar atividades como as propostas a seguir a fim de verificar se os alunos assimilaram o conteúdo explorado durante as aulas desta sequência didática.
1. O retângulo e o paralelogramo representados a seguir têm a mesma altura.
Elaborado pelo autor.
Então, é VERDADE que:
a) a medida do perímetro do retângulo é igual à do paralelogramo.
b) a área do paralelogramo é a metade da área do retângulo.
c) o retângulo tem a mesma área do paralelogramo.
d) a área do retângulo é a metade da área do paralelogramo.
Resposta: Alternativa C.
2. Analise as figuras a seguir.
Elaborado pelo autor.
Sobre essas figuras, é correto afirmar que:
a) a base maior delas tem a mesma medida, mas a altura delas é diferente.
b) têm a mesma área, porque são congruentes.
c) têm a mesma área, porque a medida das bases maior e menor são congruentes nos dois trapézios e eles têm a mesma altura.
d) têm área diferente, pois, embora a altura seja igual, a base de um trapézio é 5 unidades de comprimento e a do outro é 3 unidades de comprimento.
Resposta: Alternativa C.
Ampliação
Pode-se agendar uma aula no laboratório de informática e propor atividades em que os alunos possam utilizam software de geometria dinâmica para representar figuras e determinar a área delas, por meio das ferramentas do programa. Depois, eles decompõem as figuras em quadriláteros ou triângulos para verificar se obtém a mesma área indicada no software.
Fonte: PNLD
