Sequência didática

Números e medidas

Nesta sequência didática, será explorada a ideia de que, uma vez fixada uma unidade de comprimento, há, por exemplo, segmentos de reta cujo comprimento não pode ser expresso por um número racional. Com isso, será trabalhado o reconhecimento de um número irracional por meio da representação decimal aproximada, localizando-o na reta numérica.

A BNCC na sala de aula

Objetos de conhecimento	Necessidade dos números reais para medir qualquer segmento de reta. Números irracionais: reconhecimento e localização de alguns na reta numérica.
Competência específica	1. Reconhecer que a Matemática é uma ciência humana, fruto das necessidades e preocupações de diferentes culturas, em diferentes momentos históricos, e é uma ciência viva, que contribui para solucionar problemas científicos e tecnológicos e para alicerçar descobertas e construções, inclusive com impactos no mundo do trabalho.
Habilidades	(EF09MA01) Reconhecer que, uma vez fixada uma unidade de comprimento, existem segmentos de reta cujo comprimento não é expresso por número racional (como as medidas de diagonais de um polígono e alturas de um triângulo, quando se toma a medida de cada lado como unidade). (EF09MA02) Reconhecer um número irracional como um número real cuja representação decimal é infinita e não periódica, e estimar a localização de alguns deles na reta numérica.
Objetivo de aprendizagem	Reconhecer um número irracional como um número real cuja representação decimal é infinita e não periódica.
Conteúdo	Números irracionais.

Materiais e recursos

Barbante.

Objetos circulares ou cilíndricos.

Tesoura escolar.

Fita métrica.

Régua.

Compasso.

Esquadro.

Folha de papel quadriculado.

Calculadora.

Desenvolvimento

Quantidade de aulas: 3.

Aulas 1 e 2

Iniciar a aula conversando com os alunos sobre o número pi (

$\pi$

) e perguntar qual é o valor dele. Após discutir as respostas dos alunos, explicar que o "dia do pi" é celebrado em 14 de março e disponibilizar algumas notícias veiculadas pela mídia sobre essa data, como as sugeridas a seguir. Propor a leitura compartilhada dos textos selecionados para que, depois, os alunos possam fazer outros comentários sobre a data e o número.

CÓRDOBA, A. Dia do pi: o número que fascina os matemáticos. EL PAÍS. Disponível em: <https://brasil.elpais.com/brasil/2017/03/10/ciencia/1489144742_646459.html>. Acesso em: 20 nov. 2018.

GUILLERA, J. Dia do Pi: os algoritmos permitem obter novas cifras do π. EL PAÍS. Disponível em: <https://brasil.elpais.com/brasil/2018/03/14/ciencia/1521011921_905686.html>. Acesso em: 20 nov. 2018.

VEJA. Saiba por que 14 de março é o dia do número 'Pi'. Disponível em: <https://veja.abril.com.br/ciencia/saiba-por-que-14-de-marco-e-o-dia-do-numero-pi/>. Acesso em: 20 nov. 2018.

Retomar os valores expressos pelos alunos como sendo valores de pi, dados no início da conversa, e explicar que esse número se trata de um número irracional diferenciando-o dos números racionais.

Organizar os alunos em grupos de até quatro integrantes e, em seguida, propor que façam o seguinte experimento: medir a circunferência e o diâmetro de objetos circulares e determinar a razão entre o comprimento da circunferência e a medida do diâmetro dela. Para realizar as medições do comprimento da circunferência, eles podem utilizar barbante ou fita métrica e, para determinar a razão, podem utilizar calculadora. Orientar que registrem os dados em um quadro, como representado a seguir.

Objeto circular ou cilíndrico	Comprimento (C) da circunferência (em cm)	Diâmetro (D) da circunferência (em cm)	CDCD

Após medirem e determinarem a razão O quadro proposto anteriormente pode ser elaborado em uma planilha eletrônica para determinar automaticamente a razão entre o comprimento da circunferência e a medida do diâmetro dela.

$\frac{C}{D}$ propor que comentem sobre os valores obtidos, conduzindo-os a perceber que eles são próximos do número 3,14 e explicar que com esses procedimentos obtêm-se diferentes aproximações de pi. Comentar que, quanto mais precisas forem as medidas, mais essa razão se aproxima do valor de pi.

Explicar o fato de que existem segmentos de reta que, fixada uma unidade de medida, não podem ser expressos por meio de um número racional. Com isso, retomar a diferença entre números racionais com infinitas casas decimais (dízimas periódicas) e os irracionais, expressos na forma decimal com infinitas casas decimais não periódicas.

Para finalizar a aula, explicar que desde os antigos egípcios são realizadas tentativas de determinar o valor de pi. Comentar que, por exemplo, no papiro de Rhind é indicado que os egípcios utilizavam um valor de pi dado por:

$$\pi \simeq {\left(\frac{4}{3}\right)}^4\simeq \mathrm{3,16049}$$

Em seguida, propor a leitura de textos que tratem das casas decimais do número pi como os sugeridos a seguir.

BBC Brasil. Francês calcula número pi com 2,7 trilhões de dígitos. Disponível em: <https://ciencia.estadao.com.br/noticias/geral,frances-calcula-numero-pi-com-2-7-trilhoes-de-digitos,491563>. Acesso em: 20 nov. 2018.

G1. Guinness reconhece recorde mundial no cálculo do número Pi. Disponível em: <http://g1.globo.com/ciencia-e-saude/noticia/2011/01/guinness-reconhece-recorde-mundial-no-calculo-do-numero-pi.html>. Acesso em: 20 nov. 2018.

GALILEU. Curiosidades sobre o número Pi. Disponível em: <https://revistagalileu.globo.com/Cultura/Cultura-digital/noticia/2014/03/curiosidades-sobre-o-numero-pi.html>. Acesso em: 20 nov. 2018.

Aula 3

Retomar o que foi trabalhado na aula anterior sobre os números racionais e números irracionais. Propor aos alunos que, utilizando uma folha de papel quadriculado, representem um quadrado de lado qualquer. Comentar que a diagonal de um quadrado de lado $l$ é dada por $l\sqrt[]{2}$ e solicitar que determinem a medida da diagonal do quadrado que foi representado na malha quadriculada, considerando a medida do lado desse quadrado como unidade de medida de comprimento (u.c.).

Auxiliá-los de modo que compreendam que, fixada a unidade dessa maneira, a diagonal do quadrado terá medida equivalente a $\sqrt[]{2}$ u.c. Propor, então, que representem uma reta numérica apoiada sobre um dos lados do quadrado que representaram, de modo que a unidade seja equivalente à medida do lado desse quadrado e que as marcações de 0 e 1, da reta numérica, correspondam a vértices consecutivos do quadrado. Orientá-los a utilizar o compasso para determinar com maior precisão a distância entre as unidades. Questionar como poderiam representar, na reta numérica que foi obtida, o número $\sqrt[]{2}$ e, em seguida, $-\sqrt[]{2}$. Para isso, pode-se orientá-los a, utilizando o compasso, representar um círculo com raio de medida equivalente a diagonal do quadrado unitário, como ilustrado na figura a seguir:

Elaborado pelo autor.

Explicar que a posição de 

$\sqrt[]{2}$ e $-\sqrt[]{2}$ na reta numérica, obtida dessa maneira, são as posições desses números irracionais e que outros métodos podem ser utilizados para representar os irracionais na reta numérica, mas que nesse momento eles irão representar alguns irracionais por meio de aproximações.

Para finalizar a aula, solicitar aos alunos que representem na mesma reta numérica, valores como os indicados a seguir. Explicar que, para isso, podem considerar aproximações desses valores a números racionais.

π

$\sqrt[]{3}$

$-\sqrt[]{3}$

$\mathrm{1,05005000500005}\dots$

$–\mathrm{1,05005000500005}\dots$

–π

$2^{\frac{1}{3}}$

Para trabalhar dúvidas

Pode-se explorar a utilização da calculadora para determinar a aproximação, na representação decimal, de outros números irracionais, como àqueles determinados por raízes quadradas não exatas de números naturais.

Avaliação

Verificar se os alunos compreendem que os números irracionais possuem representação decimal infinita e não periódica e que podemos utilizar estratégias, como a aproximação, para localizá-los na reta numérica.

Propor também algumas questões como as sugeridas a seguir.

1. Analise os números representados a seguir e organize-os em ordem crescente.

$$\sqrt[]{5}$$

$$\mathrm{1,334334433444}\dots$$

$$\frac{3}{\pi }$$

$$\frac{\pi }{3}$$

$$\frac{4\pi }{3}$$

$$\frac{\pi }{2\pi }$$

$$\frac{\sqrt[]{5}}{2}$$

$$\frac{\sqrt[]{2}}{2}$$

$$-\frac{\pi }{3}$$

$$2. Dentre\; os\; números\; da\; atividade\; anterior,\; quais\; não\; são\; irracionais?-\frac{\pi }{3}<\frac{\pi }{2\pi }<\frac{\sqrt[]{2}}{2}<\frac{3}{\pi }<\frac{\pi }{3}<\frac{\sqrt[]{5}}{2}<\mathrm{1,334334433444}\dots <\sqrt[]{5}<\frac{4\pi }{3}$$

π2π