Mediatriz de um segmento de reta e bissetriz de um ângulo

Sequência didática

Mediatriz de um segmento de reta e bissetriz de um ângulo

Nesta sequência didática, serão abordados recursos para a compreensão dos conceitos de bissetriz de um ângulo e de mediatriz de um segmento de reta. Os alunos farão uso do software de geometria dinâmica para desenvolver as ideias de bissetriz e de mediatriz.

A BNCC na sala de aula

Objeto de conhecimento	Mediatriz e bissetriz como lugares geométricos: construção e problemas.
Competências específicas	5. Utilizar processos e ferramentas matemáticas, inclusive tecnologias digitais disponíveis, para modelar e resolver problemas cotidianos, sociais e de outras áreas de conhecimento, validando estratégias e resultados. 8. Interagir com seus pares de forma cooperativa, trabalhando coletivamente no planejamento e desenvolvimento de pesquisas para responder a questionamentos e na busca de soluções para problemas, de modo a identificar aspectos consensuais ou não na discussão de uma determinada questão, respeitando o modo de pensar dos colegas e aprendendo com eles.
Habilidade	(EF08MA17) Aplicar os conceitos de mediatriz e bissetriz como lugares geométricos na resolução de problemas.
Objetivo de aprendizagem	Resolver situações-problema envolvendo mediatriz de um segmento de reta e bissetriz de um ângulo.
Conteúdos	Mediatriz. Bissetriz.

Materiais e recursos

Varetas de bambu.

Linha para pipa.

Cola.

Tesoura escolar.

Papel de seda colorido.

Computadores com acesso à internet.

Desenvolvimento

Quantidade de aulas: 4.

Aulas 1 e 2

Escolher um software de geometria dinâmica, e, ao iniciar a aula, apresentá-lo aos alunos. A aula deverá ser desenvolvida na sala de informática para que eles possam explorar as ferramentas computacionais e, para isso, solicitar inicialmente que utilizem o programa para representar:

um ponto A;

uma semirreta AB e uma semirreta AC;

a semirreta AD, bissetriz do ângulo BAC.

Depois, pedir que determinem a medida de BÂC e dos ângulos formados entre a bissetriz e as semirretas AB e AC, ou seja, dos ângulos BAD e DAC. Com isso, espera-se que os alunos confiram experimentalmente que o ângulo BAC foi dividido em dois ângulos congruentes pela sua bissetriz. Deixar que os alunos explorem o software construindo vários ângulos e traçando suas bissetrizes.

Solicitar que salvem as construções, que abram um novo arquivo e que representem um segmento de reta AB qualquer. Indicar a ferramenta que traça mediatriz e solicitar que tracem a mediatriz do segmento de reta AB orientando que denotem por O o ponto de intersecção entre a mediatriz e o segmento de reta AB. Pedir que meçam os segmentos de retas AO e OB, bem como o ângulo determinado por esse segmento de reta e a mediatriz. Pedir também que meçam o segmento de reta OB e o ângulo determinado por esse segmento de reta e a mediatriz. Com isso, espera-se que os alunos verifiquem experimentalmente que a mediatriz divide o segmento de reta AB em dois segmentos de reta congruentes e que a mediatriz é perpendicular a esse segmento de reta.

Em seguida, propor alguns problemas que envolvam a ideia de bissetriz ou mediatriz, como os sugeridos a seguir. Para resolvê-los, orientar os alunos a utilizar as ferramentas do software.

1. No projeto de loteamento de um novo bairro, deseja-se construir uma avenida, indicada por um segmento de reta OC, que esteja à mesma distância de duas ruas, indicadas pelos segmentos de reta OA e OB e representadas a seguir. Represente essa avenida de maneira que satisfaça essa condição.

Espera-se que os alunos construam a bissetriz do ângulo AOB.

Elaborado pelo autor.

2. Os pontos A e B indicados a seguir representam a localização da prefeitura e do hospital, respectivamente, de uma cidade. Pretende-se construir uma nova rodoviária que esteja à mesma distância tanto da prefeitura quanto do hospital. Represente os pontos que satisfazem essa condição.

Resposta: Espera-se que os alunos construam a mediatriz do segmento de reta AB.

Elaborado pelo autor.

Após os alunos resolverem as atividades, solicitar que compartilhem e comparem as respostas obtidas. Se necessário, sistematizar a resolução conduzindo-os a perceber que a bissetriz e a mediatriz são os lugares geométricos que respondem as atividades 1 e 2, respectivamente.

Propor que elaborem outros problemas utilizando a ideia de bissetriz e de mediatriz e que utilizem as ferramentas do software para os resolver. Os problemas podem ser escritos utilizando um editor de textos para que, depois, sejam compartilhados em um blog da turma com a resolução. Incentivar os alunos a acessarem o blog e a resolver alguns dos problemas elaborados pelos colegas.

Aulas 3 e 4

Levar os alunos a perceber que a ideia de mediatriz e a de bissetriz podem estar presentes em contextos geométricos como a fabricação de pipas. Questionar os alunos se brincam com pipas e se sabem construir esse brinquedo. Se algum aluno souber fabricar algum tipo de pipa, deixar que fale algumas particularidades da fabricação explicando-as aos colegas.

Propor a construção de uma armação de pipas utilizando varetas de bambu e linhas de pipa. Passar as instruções orientando-os a medir o comprimento da vareta menor, e a fixar a vareta maior exatamente no ponto médio da outra. Ajustar para que os ângulos formados pelas varetas sejam ângulos retos, orientando-os quanto à fixação das varetas ao utilizar a linha.

Elaborado pelo autor.

Explorar matematicamente a construção fazendo questionamentos, como:

Quanto mede cada parte da vareta menor, de uma extremidade à vareta que a intersecta?

Qual é a medida de cada ângulo formado entre as varetas?

Formalizar com os alunos as propriedades encontradas. Alguns exemplos que poderão ser ditos por eles:

O encontro das varetas é no ponto médio da vareta menor.

As varetas são perpendiculares.

A vareta maior pode representar parte da bissetriz dos ângulos com origem na extremidade da vareta maior e definidos pelas linhas que compõe o contorno da pipa.

A vareta maior pode representar uma parte da mediatriz da vareta menor.

Propor a construção de pipas e possibilitar que os alunos compartilhem outros modelos que conhecem e que sabem construir para que explorem os objetos geométricos e percebam, principalmente, ideias de bissetriz e mediatriz nessas confecções.

Pode-se organizar uma manhã de convivência com as famílias para a produção de pipas com premiações: a mais colorida, a maior pipa, a mais alta etc.

Para trabalhar dúvidas

Caso algum aluno apresente dificuldade, o professor deverá intervir com atividades complementares e auxiliá-lo nessa superação. É importante que o aluno com dificuldade registre, no caderno, as estratégias de resolução das atividades para que ele possa fazer consultas futuras caso haja necessidade. Escolher alguns alunos da turma e pedir a eles que apresentem os conceitos que foram estudados nessa sequência didática.

Avaliação

Verificar se os alunos utilizam a ideia de mediatriz e de bissetriz na resolução de problemas. Propor algumas questões como as indicadas a seguir para verificar se assimilaram os conteúdos.

1. Natália e Júlia costumam ir juntas para o trabalho e sempre se encontram em um ponto que esteja na mesma distância de suas casas. Represente a casa de Natália e Júlia por meio dos pontos A e B e, depois, determine ao menos cinco possíveis pontos em que elas poderiam se encontrar, de modo que esses pontos estejam à mesma distância da casa de ambas.

Verificar se o aluno considera que qualquer ponto da mediatriz do segmento de reta AB é solução para o problema.

2. Represente a bissetriz dos ângulos indicados a seguir.

a)

b)

Elaborado pelo autor.