SEQUÊNCIA DIDÁTICA:RETAS PARALELAS E RETAS PERPENDICULARES

Sequência didática

Construindo retas paralelas e retas perpendiculares

Nesta sequência didática, será trabalhada a construção de retas paralelas e retas perpendiculares com o auxílio de softwares de geometria dinâmica. Também será proposta a elaboração de algoritmos para descrever os procedimentos para algumas dessas construções.

A BNCC na sala de aula

Objeto de conhecimento	Construção de retas paralelas e perpendiculares, fazendo uso de réguas, esquadros e softwares.
Competências específicas	2. Desenvolver o raciocínio lógico, o espírito de investigação e a capacidade de produzir argumentos convincentes, recorrendo aos conhecimentos matemáticos para compreender e atuar no mundo. 5. Utilizar processos e ferramentas matemáticas, inclusive tecnologias digitais disponíveis, para modelar e resolver problemas cotidianos, sociais e de outras áreas de conhecimento, validando estratégias e resultados. 6. Enfrentar situações-problema em múltiplos contextos, incluindo-se situações imaginadas, não diretamente relacionadas com o aspecto prático-utilitário, expressar suas respostas e sintetizar conclusões, utilizando diferentes registros e linguagens (gráficos, tabelas, esquemas, além de texto escrito na língua materna e outras linguagens para descrever algoritmos, como fluxogramas, e dados). 8. Interagir com seus pares de forma cooperativa, trabalhando coletivamente no planejamento e desenvolvimento de pesquisas para responder a questionamentos e na busca de soluções para problemas, de modo a identificar aspectos consensuais ou não na discussão de uma determinada questão, respeitando o modo de pensar dos colegas e aprendendo com eles.
Habilidades	(EF06MA22) Utilizar instrumentos, como réguas e esquadros, ou softwares para representações de retas paralelas e perpendiculares e construção de quadriláteros, entre outros. (EF06MA23) Construir algoritmo para resolver situações passo a passo (como na construção de dobraduras ou na indicação de deslocamento de um objeto no plano segundo pontos de referência e distâncias fornecidas etc.).
Objetivos de aprendizagem	Compreender o conceito e construir retas paralelas e retas perpendiculares. Utilizar algoritmos para descrever o passo a passo de construções geométricas.
Conteúdo	Retas paralelas e retas perpendiculares.

Materiais e recursos

Régua.

Esquadro.

Lápis.

Borracha.

Transferidor.

Malha quadriculada.

Projetor multimídia.

Computador.

Desenvolvimento

Quantidade de aulas: 5 aulas.

Aulas 1 e 2

Iniciar a aula organizando os alunos em grupos de até quatro integrantes. Propor uma roda de conversa para retomar o conceito de retas paralelas e de retas perpendiculares, a fim de verificar o conhecimento prévio dos alunos sobre esses conceitos. Para isso, realizar algumas perguntas como:

O que é uma reta?

Como se representa uma reta?

O que vocês entendem por retas paralelas?

Como são representadas duas retas paralelas?

O que vocês sabem sobre retas concorrentes?

O que vocês sabem sobre retas perpendiculares?

Como se pode representar duas retas perpendiculares?

Levar para a sala de aula a reprodução de um mapa que possibilite observar ruas que sejam, aproximadamente, paralelas ou perpendiculares entre si. É interessante que o mapa seja de um bairro ou local conhecido pelos alunos.

Para tornar a aula mais dinâmica, utilizar algum mecanismo de pesquisa na internet que permita a visualização de mapas e inserir o endereço da escola. Depois, pedir aos alunos que identifiquem as ruas que parecem paralelas ou perpendiculares entre si. Fazer algumas perguntas a eles para que identifiquem tais ruas. Caso não seja possível utilizar a internet, pode-se verificar a possibilidade de salvar o mapa no modo off-line.

Entregar uma folha de papel quadriculado para cada grupo e solicitar que desenhem um croqui das ruas de algum bairro (pode ser fictício) destacando as que sejam paralelas ou perpendiculares entre si.

Conforme os grupos finalizam, fotografar os croquis desenhados para projetá-los de modo que todos os demais alunos possam visualizá-los e validar se as ruas destacadas pelo colega são paralelas ou perpendiculares. Para isso, pode-se utilizar um software de edição e apresentação de slides e inserir as fotografias dos croquis que os alunos desenharam. Depois, utilizar as ferramentas do software para inserir a representação de uma reta sobre cada rua que os alunos disseram ser paralela e prolongá-la o máximo possível a fim de que eles percebam se essas retas não se cruzarão, isto é, se são de fato paralelas. Explicar aos alunos que caso duas retas se cruzem em um ponto, dizemos que são concorrentes. E, ainda, que se a medida dos ângulos formados por duas retas concorrentes for igual a 90°, essas retas são perpendiculares. Assim, para verificar se duas ruas são perpendiculares entre si, pode-se inserir a representação de um retângulo de maneira que um de seus ângulos internos coincida com o ângulo formado pelas retas que representam essas duas ruas. Se isso ocorrer, as duas retas são perpendiculares, ou seja, as medidas dos ângulos formados por elas são iguais a 90°. Propor questionamentos como os sugeridos a seguir para auxiliar no encaminhamento desse trabalho.

As retas perpendiculares que representam as ruas no croqui formam ângulos de 90°?

Se prolongar as retas paralelas elas se cruzam em algum ponto?

No croqui aparecem apenas ruas paralelas entre si?

Para finalizar a aula, solicitar que cada grupo elabore um texto explicando o que são retas paralelas e retas perpendiculares e como verificar se duas retas são paralelas ou se são perpendiculares entre si. Propor que eles elaborem um algoritmo para verificar se duas retas são paralelas, perpendiculares ou concorrentes.

Exemplo de algoritmo:

Verificar se as duas retas têm algum ponto em comum, se não tiverem elas são paralelas entre si.

Se tiverem um ponto em comum, elas são concorrentes. Nesse caso, verificar se o ângulo formado por elas é de 90°; se for, elas também são perpendiculares.

É importante destacar que, no momento, não estão sendo consideradas retas coincidentes, porém pode-se explorar essa ideia por meio do mesmo software de edição e apresentação de slides utilizado anteriormente da seguinte maneira: construir uma reta qualquer e depois duplicá-la, posicionar as retas uma sobre a outra e questionar os alunos sobre qual seria a relação entre elas.

Aula 3

Retomar as atividades desenvolvidas na aula anterior e o algoritmo elaborado pelos alunos para determinar os procedimentos que podem utilizar para verificar se duas retas são paralelas, perpendiculares ou concorrentes.

Organizar novamente os alunos em pequenos grupos e propor a seguinte atividade.

1. Na malha quadriculada a seguir, o ponto A representa a casa de Letícia; o ponto P, a praça; o ponto M, o mercado; e o ponto F, a farmácia.

Elaborado pelo autor.

Sabendo disso, realize os seguintes procedimentos.

a) Trace uma reta que passe pelo ponto A e pelo ponto P para representar a rua Constantino.

b) Trace uma reta para representar a rua Olímpica que passe pelo ponto M e seja paralela à reta que representa a rua Constantino.

c) Trace uma reta que represente a rua da Conceição, passando pelo ponto P e seja perpendicular à reta que representa a rua Constantino.

d) Passando pelo ponto P, trace uma reta qualquer para representar a rua dos Santos.

e) Passando pelo ponto F, trace uma reta que represente a rua do Vicente, que é paralela à rua dos Santos.

Há várias possibilidades de resposta, uma delas é:

Elaborado pelo autor.

Após as duplas finalizarem a atividade, propor que meçam os ângulos formados pelas retas que traçaram utilizando o transferidor e, em seguida, verifiquem quais retas são paralelas entre si e quais são perpendiculares. Além disso, o procedimento descrito nos item D e no item E permite obter outras retas para representar as respectivas ruas. Explorar as representações feitas pelos alunos e fazer perguntas como:

Qual a posição da rua Constantino relativa à rua dos Santos: paralela, perpendicular ou concorrente?

Concorrente.

E qual a posição da rua Olímpica relativa à rua Constantino: paralela, perpendicular ou concorrente?

Paralela.

A rua da Conceição é perpendicular à rua Constantino? Ela é perpendicular à rua Olímpica também?

A rua Conceição é perpendicular à rua Constantino e à rua Olímpica.

Aulas 4 e 5

Agendar com antecedência essas aulas no laboratório de informática da escola. Verificar se há algum software de geometria dinâmica instalado nos computadores ou solicitar que sejam instalados. Há alguns desses softwares que podem ser acessados, gratuitamente na internet, não sendo necessário instalá-los nos computadores. Apresentar aos alunos o software que será utilizado para que se familiarizem com algumas de suas ferramentas. Para isso, pedir a eles que acessem e explorem o menu e realizem construções quaisquer utilizando retas e outras figuras geométricas planas. Depois de cerca de 5 minutos, perguntar para que servem alguns ícones do software. Além disso, solicitar e orientar a construção de alguns elementos no plano cartesiano apresentado no software, que serão importantes para as atividades que serão propostas, como:

Pontos.

Retas construídas a partir de dois pontos.

Retas paralelas.

Retas perpendiculares.

Após esse momento de exploração do software, propor as seguintes atividades, de modo que sejam resolvidas colaborativamente, com os alunos organizados em duplas.

1. Utilizando um software de geometria dinâmica, realize os seguintes procedimentos.

Marque os pontos D(2, 1), E(3, 5) e F(6, 3).

Construa as retas DE, DF e EF.

Construa a reta r paralela à reta DE e que passa pelo ponto F.

Construa a reta s perpendicular à reta EF e que passa pelo ponto D.

Resposta esperada:

Elaborado pelo autor.

2. Observe os pontos e retas representadas a seguir.

Agora responda:

a) Quais dessas retas são paralelas entre si?

As retas t e u.

b) Quais dessas retas são perpendiculares entre si?

A reta r é perpendicular à reta t e à reta u.

c) Escreva um algoritmo para descrever os procedimentos que uma pessoa pode executar para obter a representação desses pontos e retas utilizando um software de geometria dinâmica.

Resposta possível:

Marque os pontos A(4, 7), B(5, 2), C(10, 7) e D(9, 5).

Construa uma reta r passando pelos pontos A e B

Construa uma reta s passando pelos pontos A e D.

Construa uma reta t perpendicular à reta r e passando pelo ponto C.

Construa uma reta u paralela à reta t e passando pelo ponto B.

Após os alunos finalizarem as atividades, realizar a correção delas e comparar as construções obtidas na atividade 1 e o algoritmo elaborado na atividade 2.

Depois, propor aos alunos que, em duplas e em cerca de 15 minutos, elaborem um algoritmo para a construção de algumas retas paralelas e algumas retas perpendiculares e o troquem com outra dupla, de modo que cada dupla execute o algoritmo proposto pela outra.

Reservar ao menos 15 minutos do final destas aulas para promover uma roda de conversa em que os alunos relatam as dificuldades e as estratégias para elaborar os algoritmos. Além disso, estimulá-los a falar sobre como foi seguir o algoritmo elaborado pelo colega, fazendo perguntas como:

A construção obtida por meio do algoritmo elaborado pelo colega foi a que ele estava esperando?

Os procedimentos descritos no algoritmo implicaram a obtenção de retas paralelas e retas perpendiculares?

É mais prático realizar a construção de retas ou outras figuras geométricas, por exemplo, antes ou depois de elaborar o algoritmo?

Para trabalhar dúvidas

Durante as atividades propostas, sempre verificar como os alunos as desenvolvem e se têm dúvidas. Como algumas atividades propõem o uso de softwares, verificar se os alunos compreendem os conceitos matemáticos estudados e auxiliá-los na utilização desse software, a fim de que não se torne um obstáculo para a aprendizagem do aluno.

Avaliação

Durante as aulas propostas, procurar verificar as respostas apresentadas pelos alunos, valorizando as diferentes estratégias de resolução e a maneira como elaboram e escrevem os algoritmos.

Propor aos alunos uma autoavaliação que pode ser orientada por meio de um quadro com algumas perguntas e opções de respostas predefinidas, como o sugerido a seguir.

	Já sei e consigo explicar a um colega.	Já sei, mas preciso de alguma ajuda, de um colega ou do professor.	Ainda preciso estudar mais isso.
Você já sabe identificar duas retas paralelas entre si?
Você já sabe o que são retas perpendiculares?
Você já sabe construir retas paralelas?
Você já sabe construir retas perpendiculares?
Você já sabe utilizar um software de geometria dinâmica para construir retas paralelas e retas perpendiculares?
Você já sabe escrever um algoritmo para construir uma reta paralela a outra passando por um ponto?

Além disso, propor algumas atividades, como as sugeridas a seguir, para auxiliar na verificação da aprendizagem.

1. Utilizando régua e esquadro ou um software de geometria dinâmica, faça um desenho em que apareçam retas paralelas e retas perpendiculares. Depois, elabore um algoritmo para descrever os procedimentos que utilizou.

A resposta depende dos desenhos elaborados pelos alunos. Verificar se conseguem compor o desenho e descrever o passo a passo por meio de algoritmo. Pode-se propor que troquem com um colega o algoritmo que elaboraram para que um reproduza o desenho proposto pelo outro.

2. Trace uma reta de acordo com as indicações em cada item a seguir.

a) Uma reta paralela à reta r passando pelo ponto A.

Resposta:

b) Uma reta paralela à reta s passando pelo ponto A e uma reta perpendicular a s passando pelo ponto B.

Resposta:

Ampliação

Pode-se propor uma atividade que envolva o uso de malha quadriculada para complementar o trabalho das aulas propostas nesta sequência didática. Para isso, distribua uma malha quadriculada para cada aluno, na qual deve estar representado o 1º quadrante de um plano cartesiano, com os eixos horizontal e vertical numerados. Sobre as linhas dessa malha podem estar representadas ruas e avenidas de um município fictício. Dizer as coordenadas de um ponto para que os alunos o representem nesse plano cartesiano. Em seguida, dê comandos para que os alunos “desloquem” esse ponto pelas ruas representadas no plano cartesiano, por exemplo: andar 3 unidades para a direita; girar 90° no sentido horário; andar 5 unidades para a esquerda etc. Os alunos devem traçar o caminho de acordo com os comandos. Ao final, perguntar a que ponto da cidade chegaram. Essa atividade também pode ser realizada de modo lúdico, no formato de jogo em que os alunos são organizados em grupos de 4 integrantes e jogam em duplas, de modo que um integrante da dupla tem de orientar o outro a chegar ao ponto determinado e representado inicialmente no plano cartesiano. Ganha a dupla que conseguir chegar a esse ponto primeiro. Ao final, propor aos alunos que elaborem um algoritmo para descrever o trajeto que indicaram ao colega.