SEQUÊNCIA DIDÁTICA: Transformações geométricas e simetrias

Sequência didática

Transformações geométricas e simetrias

Nesta sequência didática serão exploradas as simetrias de rotação, de reflexão e de translação por meio da análise de ocorrências em obras artísticas e artesanais e utilizando software de geometria dinâmica.

A BNCC na sala de aula

Transformações geométricas de polígonos no plano cartesiano: multiplicação das coordenadas por um número inteiro e obtenção de simétricos em relação aos eixos e à origem.Objetos de conhecimento

Simetrias de translação, rotação e reflexão.

Competência específica

8. Interagir com seus pares de forma cooperativa, trabalhando coletivamente no planejamento e desenvolvimento de pesquisas para responder a questionamentos e na busca de soluções para problemas, de modo a identificar aspectos consensuais ou não na discussão de uma determinada questão, respeitando o modo de pensar dos colegas e aprendendo com eles.

Habilidades

(EF07MA19) Realizar transformações de polígonos representados no plano cartesiano, decorrentes da multiplicação das coordenadas de seus vértices por um número inteiro.

(EF07MA20) Reconhecer e representar, no plano cartesiano, o simétrico de figuras em relação aos eixos e à origem.

(EF07MA21) Reconhecer e construir figuras obtidas por simetrias de translação, rotação e reflexão, usando instrumentos de desenho ou softwares de geometria dinâmica e vincular esse estudo a representações planas de obras de arte, elementos arquitetônicos, entre outros.

Objetivo de aprendizagem

Reconhecer e construir figuras obtidas por meio de simetrias de rotação, translação e rotação.

Conteúdos

Simetria.

Transformações geométricas.

Materiais e recursos

Computadores com acesso à internet e software de geometria dinâmica instalado.

Impressora.

Lápis de cor.

Folha de papel sulfite.

Desenvolvimento

Quantidade de aulas: 6.

Aula 1 e 2

Agendar com antecedência para que essas aulas sejam realizadas no laboratório de informática da escola. Organizar os alunos em pequenos grupos e propor que realizem uma pesquisa sobre a simetria na arte e/ou no artesanato, procurando considerar diferentes contextos, como as práticas artesanais existentes na região em que mora, a arte indígena, a arte utilizada por culturas de povos africanos etc. Orientá-los a selecionar curiosidades e imagens que encontrarem relacionadas ao tema.

Após realizadas as pesquisas, solicitar que cada grupo apresente para o restante da turma o que pesquisaram, incluindo imagens que apresentam simetria. Para isso, pode-se utilizar um projetor multimídia, se disponível. Verificar se as imagens selecionadas por cada grupo realmente apresentam simetria, identificando com eles o caso de simetria presente nessas imagens.

Para finalizar a aula, promover uma roda de conversa para sistematizar os casos de simetria (de rotação, de translação e de reflexão) e propor que cada grupo elabore um texto descrevendo a simetria de rotação, de translação e de rotação, e indiquem outras situações em que elas podem ser observadas.

Aulas 3 e 4

Agendar com antecedência para que essas aulas sejam realizadas no laboratório de informática da escola. Organizar os alunos em duplas e orientá-los a explorar as ferramentas de algum software de geometria dinâmica, principalmente aqueles que possibilitam construir polígonos a partir de seus vértices.

É importante que a malha quadriculada e os eixos horizontal e vertical estejam visíveis para auxiliar os alunos na compreensão de como obter as coordenadas dos pontos que representam os vértices de um polígono.

Propor algumas atividades, para que realizem com o auxílio de um software de geometria dinâmica, como as sugeridas a seguir.

1. Construa um triângulo de vértices A(3, 5), B(5, 7) e C(8, 3).

a) Ao multiplicar cada coordenada dos vértices desse triângulo por –1, obtemos um triângulo A'B'C' de vértices com quais coordenadas?

A'(–3, –5), B'(–5, –7) e C'(–8, –3).

b) O triângulo ABC e o triângulo A'B'C' são semelhantes? São congruentes?

Sim. Sim.

c) Os triângulos ABD e A'B'C' são simétricos? Justifique.

Sim, pois o triângulo A'B'C' pode ser obtido por meio de uma rotação do triângulo ABC em torno do ponto de coordenadas (0, 0), em 180°.

d) Se cada coordenada dos vértices do triângulo ABC for multiplicada por 2, o triângulo A''B''C'' obtido será simétrico ao triângulo ABC? Esses triângulos serão semelhantes? Serão congruentes?

Não. Sim. Não.

Elaborado pelo autor.

Representação dos triângulos ABC e A'B'C'.

Elaborado pelo autor.

Representação dos triângulos ABC e A''B''C''.

2. Construa um triângulo de vértices A(2, 2), B(3, 5) e C(7, 4).

a) Por qual número deve ser multiplicada cada coordenada dos vértices desse triângulo ABC de maneira a obter as coordenadas dos vértices de um triângulo simétrico a ele em relação ao eixo y?

As coordenadas correspondentes às abcissas devem ser multiplicadas por –1 e as correspondentes às ordenadas, por 1.

b) E por qual número deve ser multiplicada cada coordenada dos vértices do triângulo ABC de maneira a obter as coordenadas dos vértices de um triângulo simétrico em relação ao eixo x?

As coordenadas correspondentes às abcissas devem ser multiplicadas por 1 e as correspondentes às ordenadas, por –1.

Elaborado pelo autor.

Representação do triângulo ABC e dos triângulos simétricos a ele em relação ao eixo x e ao eixo y.

Na atividade 1, explicar aos alunos que podem utilizar, por exemplo, as ferramentas do software para exibir a medida de cada ângulo interno dos triângulos, bem como a medida de seus lados para verificar se os triângulos são semelhantes ou não.

Após os alunos realizarem a atividade 2, propor que representem uma figura utilizando o software e, multiplicando suas coordenadas por números inteiros, determinem que coordenadas devem ter os vértices de quatro figuras simétricas a ela: uma que pode ser obtida por reflexão em relação ao eixo x, uma por reflexão em relação ao eixo y, uma por rotação em relação ao ponto O(0, 0) e uma por translação. Em seguida, solicitar que utilizem o software e representem essas figuras simétricas à figura inicial, a partir das coordenadas dos vértices obtidas.

Para finalizar a aula, solicitar que elaborem um texto descrevendo o que acharam e o que entenderam das aulas 3 e 4.

Aulas 5 e 6

Agendar com antecedência para que essas aulas sejam realizadas no laboratório de informática da escola. Apresentar aos alunos as ferramentas do software de geometria dinâmica que possibilitam obter as figuras simétricas à uma figura inicialmente representada por eles, como as opções utilizadas para obter uma reflexão em relação a uma reta, uma reflexão em relação a um ponto, uma rotação em torno de um ponto, translação por um vetor etc.

Apresentar as ferramentas e deixar que os alunos as explorem, construindo figuras e obtendo figuras simétricas a elas. Depois, retomar a pesquisa que realizaram na aula 1 desta sequência didática e propor que escolham uma das obras que apresentaram e que façam uma releitura dessa obra, representando-a com auxílio do software ou em uma folha de papel sulfite, destacando o caso de simetria presente na obra.

Eles podem compor as figuras e/ou polígonos no software de geometria dinâmica de modo que as linhas de contorno sejam pretas, para que possam imprimir e colorir com lápis de cor.

Para finalizar, as releituras que os alunos fizeram podem ser expostas na sala de aula ou em algum local no próprio pátio da escola.

Para trabalhar dúvidas

Caso os alunos tenham dificuldades em utilizar as ferramentas do software de geometria dinâmica, pode-se sugerir que realizem as atividades propostas utilizando malha quadriculada, régua e transferidor.

Caso julgar necessário, relembrar como localizar pontos no plano cartesiano, apresentando alguns exemplos na lousa. Em relação a determinar que número se deve multiplicar as coordenadas dos vértices de uma figura para obter as coordenadas dos vértices de uma figura simétrica a ela, pode-se propor que representem, inicialmente, a figura simétrica utilizando o software para, depois, observarem as coordenadas dos vértices das duas figuras e perceberem as possíveis regularidades.

Avaliação

Propor algumas atividades, como as sugeridas a seguir, para verificar se os alunos compreenderam e assimilaram os conceitos explorados nas aulas propostas nesta sequência didática.

1. Observe o polígono ABCDEF representado na malha quadriculada a seguir e, depois, represente o polígono simétrico a ele em relação ao eixo e e o polígono simétrico a ele obtido por uma rotação de 90° no sentido anti-horário em torno do ponto O.

Elaborado pelo autor.

Resposta:

Elaborado pelo autor.

2. Observe o triângulo ABC e o triângulo DEF representados no plano cartesiano a seguir.

elaborado pelo autor.

A respeito desses triângulos é CORRETO afirmar que:

a) são triângulos congruentes obtidos por meio de uma reflexão em relação ao eixo y.

b) são triângulos congruentes obtidos por meio de uma rotação em torno do ponto O(0, 0).

c) são triângulos semelhantes obtidos por meio de uma reflexão em relação ao eixo y.

d) são triângulos semelhantes obtidos por meio de uma translação.

Alternativa D.

Fonte: PNLD