SEQUÊNCIA DIDÁTICA :TANGRAM

Sequência didática

Tangram

Nesta sequência didática, por meio da manipulação do Tangram, será abordada a ideia de frações como parte de um inteiro e a comparação e equivalência de frações, além das operações de adição e subtração de frações.

A BNCC na sala de aula

Objeto de conhecimento	Frações: significados (parte/todo, quociente), equivalência, comparação, adição e subtração; cálculo da fração de um número natural; adição e subtração de frações.
Competência específica	3. Compreender as relações entre conceitos e procedimentos dos diferentes campos da Matemática (Aritmética, Álgebra, Geometria, Estatística e Probabilidade) e de outras áreas do conhecimento, sentindo segurança quanto à própria capacidade de construir e aplicar conhecimentos matemáticos, desenvolvendo a autoestima e a perseverança na busca de soluções.
Habilidades	(EF06MA07) Compreender, comparar e ordenar frações associadas às ideias de partes de inteiros e resultado de divisão, identificando frações equivalentes. (EF06MA10) Resolver e elaborar problemas que envolvam adição ou subtração com números racionais positivos na representação fracionária.
Objetivos de aprendizagem	Compreender a fração como parte de um inteiro. Comparar frações. Identificar frações equivalentes. Resolver e elaborar problemas que envolvam adição ou subtração com números racionais positivos na representação fracionária.
Conteúdos	Frações. Frações equivalentes. Comparação entre frações. Adição e subtração de frações.

Materiais e recursos

Jogo de Tangram.

Malha quadriculada (1 cm × 1 cm).

Tesoura escolar.

Cola.

Cartolina.

Folhas de papel sulfite.

Desenvolvimento

Quantidade de aulas: 5 aulas.

Aula 1

Iniciar a aula organizando os alunos em grupos com, no máximo, quatro integrantes e conversar sobre o Tangram. Explicar que se trata de um quebra-cabeça milenar, construído a partir de uma figura de quadrado que é decomposto em sete peças com formato de polígonos: cinco triângulos (dois "grandes", um "médio" e dois "pequenos"), um quadrado e um paralelogramo.

Uma das lendas sobre a origem desse quebra-cabeça conta que um jovem chinês ganhou um espelho de seu mestre para registrar tudo o que visse durante certa viagem. Porém, o jovem deixou o espelho cair e ele se quebrou em sete partes. Vendo a fisionomia de espanto do discípulo, o mestre o acalmou e disse que, com aquelas sete peças, ele poderia construir figuras para ilustrar o que viu durante a viagem.

Pode-se realizar, com os alunos, a leitura de algum texto que aborde a história do Tangram ou construir algumas figuras com as peças desse jogo, comentando que há diversas possibilidades de figuras que podem ser formadas unindo essas peças. Se possível, distribuir um jogo de Tangram para cada grupo a fim de que eles manipulem as peças e possam tentar construir algumas figuras.

Após esse trabalho inicial com o Tangram, entregar uma folha de papel sulfite para cada grupo. Propor aos alunos algumas perguntas relacionadas às peças do Tangram e solicitar que discutam a respeito de cada uma e anotem as respostas na folha de papel.

O Tangram possui peças idênticas?

A área da peça com formato de triângulo médio equivale a área de quantas peças com formato de triângulo pequeno?

A área da peça com formato de triângulo médio equivale a que parte da área da peça com formato de triângulo grande?

Durante a realização da atividade, percorrer a sala de aula e verificar o andamento do trabalho nos grupos, procurando incentivar a discussão entre os integrantes e auxiliando-os quando necessário.

Verificar as respostas apresentadas pelos alunos e os termos utilizados por eles, como "dobro" e "metade". Espera-se que os alunos reconheçam e associem a relação entre as áreas de algumas peças por fração.

Distribuir uma malha quadriculada para cada grupo e solicitar que representem as peças do Tangram nessa malha. Sugerir que eles tracem, inicialmente, o contorno de um quadrado para representar todas as peças do jogo juntas e de maneira que o lado desse quadrado corresponda a uma quantidade inteira e par de lados da figura de quadradinho que compõe a malha.

Em seguida, pedir que tracem segmentos de reta para obterem a representação de cada peça do Tangram. Por fim, eles devem colorir cada peça com cores distintas, obtendo uma representação como a apresentada a seguir:

Elaborado pelo autor.

Dizer a eles que utilizarão o Tangram que representaram na próxima aula.

Aula 2

Organizar novamente os alunos em grupos com até quatro integrantes, podendo ser os mesmos da aula anterior, e retomar a ideia de fração como parte de um inteiro. Propor que determinem uma fração que indique a área da figura que representa a maior peça do Tangram em relação à área total desse jogo. Para isso eles podem utilizar o Tangram que representaram na malha quadriculada na aula anterior.

Pode-se, também, entregar um jogo do Tangram para cada grupo e orientá-los a comparar as peças do jogo, identificando se duas peças têm mesma área ou não e realizando sobreposições de peças, por exemplo.

Considerando o Tangram que representaram na malha, propor aos alunos que resolvam as seguintes atividades.

1. O formato das peças do Tangram pode ser associado a quais figuras geométricas planas?

Resposta esperada: Triângulo, quadrado e paralelogramo.

2. A área da peça de triângulo grande equivale a área de quantas peças de triângulo pequeno?

4 peças.

3. Quantos peças de triângulo pequeno, no mínimo, são necessárias para sobrepor todo Tangram?

16 peças.

4. Considerando a área de todo Tangram como uma unidade, determine uma fração que indica a área de cada peça.

Resposta:

Elaborado pelo autor.

5. Qual das peças de formato de quadrilátero do Tangram tem a menor área? Justifique sua resposta utilizando frações.

Resposta esperada: Ambas as peças de formato de quadrilátero têm mesma área, que corresponde, cada uma delas, a $\frac{1}{8}$ da área total do Tangram.

Na atividade 4, pode-se sugerir que os alunos escrevam as frações na região interna de cada figura que representa uma peça do Tangram desenhada na malha quadriculada. Assim, eles podem utilizar essas anotações para auxiliá-los nas atividades das próximas aulas.

Ao final das atividades, espera-se que os alunos sejam capazes de comparar as frações e reconhecer àquelas que são equivalentes. Promover uma roda de conversa para que os grupos compartilhem suas estratégias de resolução e respostas.

Aula 3

Nesta aula, os alunos também deverão trabalhar em grupos de até quatro integrantes. Explicar a eles que o objetivo é resolver problemas envolvendo adição e subtração de frações que indicam as áreas de cada peça do Tangram em relação à área do Tangram, que serão utilizadas para compor diferentes figuras. Caso julgar necessário, relembrá-los que, para adicionar ou subtrair frações de mesmo denominador, basta adicionar ou subtrair, respectivamente, os numeradores e manter os denominadores. Mas, se as frações tiverem denominadores diferentes, é necessário escrever uma fração equivalente a cada uma de maneira que tenham o mesmo denominador e, em seguida, adicionar ou subtrair as frações equivalentes obtidas de um mesmo denominador. Dizer a eles que poderão utilizar as peças do Tangram para auxiliá-los na resolução. Por exemplo:

$$\frac{1}{16}+\frac{1}{16}+\frac{1}{8}=\frac{1}{16}+\frac{1}{16}+\frac{2}{16}=\frac{1+1+2}{16}=\frac{4}{16}=\frac{1}{4}$$

Elaborado pelo autor.

Distribuir para cada grupo uma folha de papel sulfite e um jogo de Tangram para que resolvam as atividades sugeridas a seguir.

1. Douglas disse que a fração que indica a área de duas peças de triângulo pequeno, juntas, é maior que a fração que indica a área da composição com formato de trapézio obtida com a peça de paralelogramo e uma peça de triângulo pequeno, conforme representado a seguir. A afirmação de Douglas está correta? Por quê?

Elaborado pelo autor.

Resposta esperada: Não, pois a fração que indica a área de duas peças de triângulo pequeno corresponde a $\frac{2}{16}$ e a fração que indica a área da composição corresponde a $\frac{3}{16}$, que é maior do que $\frac{2}{16}$.

2. Qual peça tem a mesma área que a da figura composta pela peça de quadrado e pelas duas peças de triângulo pequeno? Justifique sua resposta utilizando frações.

Resposta possível: A peça de triângulo grande, uma vez que sua área corresponde a fração $\frac{1}{4}$ e a da figura composta é dada por $\frac{1}{16}+\frac{1}{16}+\frac{1}{8}=\frac{1}{16}+\frac{1}{16}+\frac{2}{16}=\frac{4}{16}=\frac{1}{4}$.

3. Tales representou um avião utilizando todas as peças do Tangram, conforme a figura a seguir.

Elaborado pelo autor.

Em seguida, ele retirou uma peça cuja área corresponde a $\frac{1}{8}$ da área total do Tangram Qual peça ele pode ter tirado? Que fração da área total do Tangram representa a área da figura que restou?

Tales pode ter retirado a peça de triângulo médio, de quadrado ou de paralelogramo. A fração da área total do Tangram representa a área da figura que restou $\frac{7}{8}$, pois $1–\frac{1}{8}=\frac{8}{8}–\frac{1}{8}=\frac{7}{8}$.

4. Júlia começou a construir uma representação de gato com as peças do Tangram, cuja área correspondia a $\frac{5}{8}$ da área total do Tangram. No entanto, seu irmão retirou duas peças de triângulo pequeno, conforme figura a seguir. A área da parte que sobrou representa que fração da área total do Tangram?

Elaborado pelo autor.

$\frac{1}{2}$, pois $\frac{5}{8}-\frac{2}{16}=\frac{10}{16}-\frac{2}{16}=\frac{8}{16}=\frac{1}{2}$.

Espera-se que os alunos compreendam por que é necessário trabalhar com frações equivalentes para efetuar adições e/ou subtrações com frações de denominadores diferentes. Durante a resolução das atividades, circular pelos grupos para observar as estratégias utilizadas e auxiliá-los sempre que necessário. Verificar também se os alunos determinam frações equivalentes para realizar as comparações entre as peças do Tangram relacionadas à sua área.

Para finalizar a aula, promover uma roda de conversa para que cada grupo relate as principais estratégias que utilizaram para resolver as atividades.

Aulas 4 e 5

Organizar novamente os alunos em grupos de até quatro integrantes. Propor que cada grupo elabore dois problemas, um envolvendo adição e um envolvendo subtração de frações, baseando-se nas áreas das peças do Tangram. Em seguida, os grupos deverão trocar esses problemas com outro grupo e cada um deve resolver os problemas que receber.

Após terminarem de resolver os problemas, realizar uma correção coletiva dos problemas elaborados pelos alunos, tanto do enunciado quanto da resolução. Pode-se solicitar que cada grupo apresente os problemas que resolveram na lousa. Discutir com a turma o que pode ser melhorado no enunciado do problema, de maneira que esteja claro o que está sendo solicitado, por exemplo. Perguntar aos alunos o que foi mais desafiador para eles, elaborar ou resolver os problemas?

Para finalizar o trabalho com o Tangram, propor que cada grupo elabore um pequeno texto ou história que possa ser ilustrada com figuras formadas com peças do Tangram, para que sejam apresentadas em um painel ou cartolina. Eles poderão utilizar todas as peças, apenas algumas ou mesmo mais de um Tangram para compor diferentes figuras e, também, fazer desenhos para completar essas figuras. Os painéis e/ou cartolinas confeccionados poderão ser expostos na sala de aula ou em algum local próprio no pátio da escola.

Para trabalhar as dúvidas

Caso algum aluno apresente dificuldades na compreensão das atividades propostas, procurar auxiliá-lo em suas dúvidas.

Em relação ao conceito de fração, para retomar a ideia de fração como parte de um inteiro, apresentar uma figura de retângulo, dividida em cinco partes iguais, por exemplo, e solicitar ao aluno que pinte a quantidade de partes que corresponde à fração $\frac{2}{5}$ do retângulo.

Em relação ao conceito de frações equivalentes, utilizar a ideia de fração como parte de um inteiro em representações de figuras de mesmo tamanho. Por exemplo, desenhar três figuras de quadrados de mesmo tamanho na lousa em que o primeiro é decomposto em duas partes iguais, o segundo em quatro partes iguais e o terceiro em oito partes iguais. Em seguida, pintar uma parte da primeira figura de quadrado e solicitar ao aluno que pinte, nas demais figuras de quadrados, uma quantidade inteira de partes de maneira que se obtenham partes pintadas equivalentes a da primeira figura. Por fim, o aluno deve escrever uma fração para indicar a parte total pintada de cada figura de quadrado em relação ao inteiro.

Elaborado pelo autor.

Já em relação às operações de adição e subtração de frações, pode-se propor adições e/ou subtrações simples com o auxílio de tiras ou discos de frações. Assim, os alunos poderão utilizar as tiras ou os setores circulares para, por meio de manipulações, obter frações equivalentes necessárias para auxiliá-los nos cálculos de adições e/ou subtrações simples propostas pelo professor.

Avaliação

Sempre que julgar necessário, reforçar que uma das ideias de fração é representar parte de um inteiro e que frações equivalentes representam a mesma parte do inteiro.

É importante ouvir e considerar as ideias dos alunos para que estes sintam-se à vontade para se expressar. Sempre que possível, conversar sobre as respostas apresentadas por eles para uma determinada atividade e tentar compreender como a obtiveram, além de discutir sobre diferentes maneiras de se resolver alguns problemas.

Propor algumas atividades, como as sugeridas a seguir, para verificar se os alunos compreenderam e assimilaram os conceitos explorados nas aulas propostas nesta sequência didática.

1. Márcia e Ana fizeram um bolo cada uma. Para isso, abriram uma caixa de leite. Márcia utilizou $\frac{1}{6}$ da quantidade de leite da caixa e Ana utilizou $\frac{3}{4}$. Sabendo disso, responda:

a) Quem utilizou mais leite?

Ana.

b) Que fração indica a quantidade de leite da caixa que elas utilizaram ao todo?

Resposta: $\frac{11}{12}$, pois $\frac{1}{6}+\frac{3}{4}=\frac{4}{24}+\frac{18}{24}=\frac{22}{24}=\frac{11}{12}$

c) Escreva uma fração para indicar a quantidade de leite que restou na caixa em relação à quantidade inicial?

$\frac{1}{12}$

2. Elabore dois problemas que envolvam as frações $\frac{3}{7}$, $\frac{13}{21}$ e $\frac{4}{21}$.

Resposta pessoal. Verificar se os alunos utilizam as operações de adição, subtração e frações equivalentes para elaborar os problemas.

Ampliação

Para ampliar o estudo com frações e seus significados, pode-se propor aos alunos a leitura dos livros sugeridos a seguir:

RAMOS, L. F. Frações sem mistérios. São Paulo: Ática, 2002.

Já para o professor, propõe-se a leitura do livro a seguir.

COSTA, E. M. Matemática e origami: trabalhando frações. Rio de Janeiro: Ciência Moderna, 2007.

Fonte: PNLD