SEQUÊNCIA DIDÁTICA: RESOLVENDO ATIVIDADES COM NÚMEROS RACIONAIS E PORCENTAGEM

Sequência didática

Resolvendo atividades com números racionais e porcentagem

Nesta sequência didática, serão explorados problemas envolvendo números racionais tanto na forma fracionária como na forma decimal e porcentagem por meio da ideia de proporcionalidade, fazendo uso de frações equivalentes. Além disso, a ideia de que uma igualdade matemática não se altera ao se adicionar, subtrair, multiplicar ou dividir seus dois membros por um mesmo valor, diferente de zero, será utilizada como estratégia para se resolver atividades. E ainda, será trabalhada a partilha de uma quantidade em partes desiguais.

A BNCC na sala de aula

Objetos de conhecimento	Operações (adição, subtração, multiplicação, divisão e potenciação) com números racionais. Cálculo de porcentagens por meio de estratégias diversas, sem fazer uso da "regra de três". Propriedades da igualdade. Problemas que tratam da partição de um todo em duas partes desiguais, envolvendo razões entre as partes e entre uma das partes e o todo.
Competências específicas	2. Desenvolver o raciocínio lógico, o espírito de investigação e a capacidade de produzir argumentos convincentes, recorrendo aos conhecimentos matemáticos para compreender e atuar no mundo. 5. Utilizar processos e ferramentas matemáticas, inclusive tecnologias digitais disponíveis, para modelar e resolver problemas cotidianos, sociais e de outras áreas de conhecimento, validando estratégias e resultados.
Habilidades	(EF06MA11) Resolver e elaborar problemas com números racionais positivos na representação decimal, envolvendo as quatro operações fundamentais e a potenciação, por meio de estratégias diversas, utilizando estimativas e arredondamentos para verificar a razoabilidade de respostas, com e sem uso de calculadora. (EF06MA13) Resolver e elaborar problemas que envolvam porcentagens, com base na ideia de proporcionalidade, sem fazer uso da "regra de três", utilizando estratégias pessoais, cálculo mental e calculadora, em contextos de educação financeira, entre outros. (EF06MA14) Reconhecer que a relação de igualdade matemática não se altera ao adicionar, subtrair, multiplicar ou dividir os seus dois membros por um mesmo número e utilizar essa noção para determinar valores desconhecidos na resolução de problemas. (EF06MA15) Resolver e elaborar problemas que envolvam a partilha de uma quantidade em duas partes desiguais, envolvendo relações aditivas e multiplicativas, bem como a razão entre as partes e entre uma das partes e o todo.
Objetivos de aprendizagem	Resolver e elaborar problemas envolvendo números racionais positivos na representação decimal e percentual. Utilizar a ideia de que uma igualdade matemática não se altera ao adicionar, subtrair, multiplicar ou dividir seus dois membros por um mesmo valor, diferente de zero, como uma estratégia na resolução de problemas. Compreender que uma quantidade pode ser dividida em partes desiguais mantendo relações entre as partes como a razão entre elas ou entre uma delas e o todo.
Conteúdos	Operações com números racionais. Porcentagem.

Materiais e recursos

Calculadora

Desenvolvimento

Quantidade de aulas: 5.

Aula 1

Iniciar a aula explicando aos alunos que serão propostos problemas envolvendo números racionais positivos na representação decimal, bem como operações com esses números e que, para resolvê-los, eles poderão utilizar estratégias diversas como realizar estimativas e arredondamentos para verificar a razoabilidade de algumas respostas.

Organizar os alunos em duplas e propor a seguinte atividade, que pode ser resolvida com auxílio de uma calculadora:

Uma confeitaria vende bolos inteiros, de acordo com sua massa em quilograma, ou por fatias. Observe os valores de cada sabor de bolo:

Bolo	Preço (kg)	Preço (fatia)
Floresta negra	R$ 29,50	R$ 3,10
Morango	R$ 28,60	R$ 2,60
Nozes	R$ 33,50	R$ 3,35
Abacaxi	R$ 27,20	R$ 3,15

R$ 103,25.a) Um cliente que encomendar um bolo floresta negra de 3,5 kg pagará quantos reais?

b) Lúcia comprou duas fatias do bolo de morango e três fatias do bolo de nozes. Se, para pagar, ela deu R$ 30,05 ao caixa, quanto ela recebeu de troco?

R$ 14,80.

c) Márcio encomendou um bolo de abacaxi e pagou R$ 130,56. Quantos quilogramas tinha o bolo que ele encomendou? Se ele dividir esse bolo em 48 fatias e revender cada fatia por R$ 3,50, terá lucro ou prejuízo? De quanto?

4,8 kg. Lucro de R$ 37,44.

d) Com o valor referente a 1 kg do bolo floresta negra, quantas fatias inteiras desse mesmo sabor de bolo poderiam ser compradas? E com o valor referente a 1 kg do bolo de morango, quantas fatias inteiras poderiam ser compradas desse mesmo sabor de bolo?

Bolo floresta negra: 9 fatias. Bolo de morango 11 fatias.

Conceder cerca de 15 minutos para as duplas resolverem a atividade. Enquanto isso, circular pela sala de aula para orientá-los e averiguar as estratégias que cada dupla utilizou. Verificar, por exemplo, se os alunos, após realizarem cálculos, arredondam os valores obtidos para apresentar as respostas, que operações eles utilizam para resolver cada item, entre outras. No item A, os alunos podem utilizar a adição de três parcelas referentes ao valor de um quilograma do bolo floresta negra e uma parcela referente ao valor de meio quilograma desse bolo. No item B, uma das possibilidades de resolução seria escrever uma expressão numérica para representar o valor total da compra e depois resolvê-la. No item C, uma estratégia pode ser dividir o preço pago pelo bolo por 48 e verificar se o valor de cada pedaço seria maior ou menor que o valor que Márcio optou por revender.

Após as duplas terminarem de resolver a atividade proposta, realizar uma roda de conversa para que compartilhem as respostas e as estratégias que utilizaram.

Aulas 2 e 3

Iniciar a aula explorando a representação de um número racional na forma de fração e na forma percentual correspondente. Explicar aos alunos que uma das maneiras de obter esse percentual é determinar uma fração equivalente cujo denominador seja igual a 100. Apresentar alguns exemplos como os sugeridos a seguir.

$\frac{1}{2}=\frac{50}{100}=50\%$;

$\frac{1}{4}=\frac{25}{100}=25\%$;

$\frac{1}{5}=\frac{20}{100}=20\%$.

Comentar que é comum utilizarmos a porcentagem para expressar o aumento ou o desconto de um valor, por exemplo, e que podemos calcular esse percentual escrevendo uma fração que represente a razão entre o valor correspondente ao aumento ou desconto e o valor inicial; em seguida, basta determinar uma fração equivalente cujo denominador seja igual a 100. Feito isso, propor as seguintes atividades aos alunos.

1. Por causa de uma crise econômica, uma loja que vendia 60 bolos por dia, deixou de vender 15 bolos diariamente. Qual é o percentual que indica a queda nas vendas?

O percentual é de 25%.

2. Um supermercado oferece aos clientes um cartão que dá 35% de desconto no valor das compras. Vera realizou uma compra nesse supermercado e, pagando com esse cartão, obteve R$ 70,00 de desconto no valor total da compra. Se ela não tivesse o cartão, quanto teria de pagar pela mesma compra que realizou?

Teria de pagar R$ 200,00.

Verificar as estratégias que os alunos utilizaram na resolução dessas atividades e, após eles terminarem as resoluções, promover uma roda de conversa para que as compartilhem com o restante da turma. Na atividade 1, os alunos têm de verificar a que percentual 15 bolos representam de 60 bolos, o que pode ser obtido com os seguintes cálculos:

$\frac{15}{60}=\frac{1}{4}=\frac{25}{100}=25\%$

Já na resolução da atividade 2, é possível explorar a ideia de que uma igualdade matemática não se altera ao adicionar, subtrair, multiplicar ou dividir os dois membros dela por um mesmo número diferente de zero. Nesse caso, é importante que, inicialmente, eles compreendam que o preço da compra sem desconto corresponde a 100% e que o desconto de 35% corresponde a R$ 70,00. Assim, discutir com eles a resolução com as seguintes etapas:

1ª) 35% do preço da compra = R$ 70,00

2ª) 5% do preço da compra = R$ 10,00 (dividimos ambos os membros por 7)

3ª) 100% do preço da compra = R$ 200,00 (multiplicamos ambos os membros por 20)

Assim, temos que Vera pagaria R$ 200,00 pela compra caso não tivesse o cartão.

Depois, propor aos alunos que resolvam outras atividades, como as sugeridas a seguir, e verificar se utilizam as mesmas estratégias. Para conferir os cálculos, eles podem utilizar uma calculadora.

3. Jorge mudou de emprego pois recebeu uma proposta salarial para receber R$ 1 800,00 a mais do que recebia no emprego anterior. Sabendo que Jorge recebia R$ 2 400,00, determine o percentual de aumento no valor do seu salário.

O percentual de aumento é 75%.

4. Bete se cadastrou em um programa social que concede 30% de desconto na fatura de energia elétrica. Em um determinado mês, ela recebeu um desconto de R$ 21,00 no valor da fatura. Quanto ela pagaria de energia elétrica se não estivesse cadastrada nesse programa social?

Ela pagaria R$ 70,00.

5. Uma loja estava vendendo um refrigerador por R$ 1 200,00. Durante uma promoção, esse refrigerador teve o preço reduzido em R$ 240,00. Qual foi a porcentagem de redução no preço desse refrigerador?

A redução foi de 20%.

Após os alunos resolverem essas atividades, realizar uma correção na lousa junto com eles, destacando a ideia de que uma igualdade matemática não se altera ao adicionar, subtrair, multiplicar ou dividir seus dois membros por um mesmo número diferente de zero.

Aulas 4 e 5

Retomar com a turma as atividades que foram trabalhadas nas aulas anteriores e as estratégias que utilizaram para resolvê-las. Depois, propor situações em que os alunos percebam a necessidade de dividir uma quantidade em duas partes desiguais, como a apresentada a seguir.

Dois sócios investiram quantidades diferentes para estruturar uma pequena loja que vende cosméticos. Paulo investiu 75% e Maria 25%. Após o primeiro mês de vendas, o lucro foi de R$ 1 000,00. Como Paulo e Maria poderiam dividir esse lucro entre si?

Organizar os alunos em grupos de até quatro integrantes e solicitar que discutam entre si a fim de apresentarem uma sugestão de divisão de lucros entre Paulo e Maria. Em seguida, solicitar que alguns grupos apresentem suas sugestões para o restante da turma.

Explicar que pode-se dividir o lucro de modo que Paulo e Maria recebam uma parte proporcional àquela que cada um investiu. Uma estratégia é, inicialmente, utilizar a ideia de fração decimal para representar as porcentagens e simplificá-las.

$$75\%=\frac{75}{100}=\frac{3}{4}$$

$$25\%=\frac{25}{100}=\frac{1}{4}$$

A partir das razões obtidas, explorar estratégias para determinar quanto cada um deveria receber do lucro, trabalhando as relações entre frações de quantidades. Nesse caso, temos:

$\frac{3}{4}\bullet 1000=750$

$\frac{1}{4}\bullet 1000=250$

Assim, nessa proposta de divisão do lucro, Paulo receberia R$ 750,00 e Maria, R$ 250,00.

Conversar com os alunos sobre outros contextos em que divisões desse tipo podem ocorrer e propor que elaborem alguns problemas. Depois, solicitar que troquem os problemas elaborados com outro grupo para que um resolva o que o outro elaborou.

Ao final da aula, solicitar que cada grupo leia um dos problemas e compartilhe a resolução dele com os demais colegas, socializando as diversas estratégias de resolução.

Para trabalhar dúvidas

Caso algum aluno tenha dificuldades para resolver as atividades propostas, pode-se retomar o estudo dos números racionais na forma fracionária e decimal, além de cálculos envolvendo percentual. Nas atividades que tratam das ideias iniciais dos princípios da igualdade, é importante que os alunos compreendam que o número, diferente de zero, adicionado, subtraído, multiplicado ou dividido deve ser o mesmo em cada membro da igualdade.

Avaliação

No decorrer das aulas, observar os apontamentos dos alunos e as estratégias de resolução utilizadas. Conversar sobre as respostas que apresentarem e as estratégias que podem utilizar para resolver as atividades.

Para verificar se os alunos compreenderam e assimilaram os conceitos explorados nas aulas propostas nesta sequência didática, propor algumas atividades, como as sugeridas a seguir. Na resolução dessas atividades, os alunos podem utilizar uma calculadora.

1. Uma antiga fazenda foi loteada em terrenos para constituir um novo bairro. Há três opções de terrenos, de acordo com a medida de suas áreas.

Terreno A: 515,3 m²

Terreno B: 380,28 m²

Terreno C: 234,09 m²

Sabendo que o metro quadrado desse loteamento está avaliado em R$ 164,50, determine o preço de cada terreno.

Terreno A: R$ 84 766,85; terreno B: R$ 62 556,06; terreno C: aproximadamente R$ 38 507,80.

2. Carla e Lara compraram um terreno no valor de R$ 100 000,00. Lara pagou R$ 45 000,00 e Carla R$ 55 000,00. Depois de alguns anos, elas venderam o terreno por R$ 120 000,00. Quanto Carla deve receber?

Uma resposta possível: R$ 66 000,00.

Fonte: PNLD