| Sequência didática |
Relação entre as medidas dos lados, perímetros e áreas de retângulos
Nesta sequência didática, os alunos serão estimulados a mobilizarem possíveis conhecimentos prévios sobre perímetro e área de retângulos, com a finalidade de investigarem relações de proporcionalidade entre as medidas de seus lados e de seu perímetro por meio do trabalho com ampliação de figuras em malha quadriculada.
A BNCC na sala de aula
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Objeto de conhecimento |
Perímetro de um quadrado como grandeza
proporcional à medida do lado. |
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Competência específica |
3. Compreender as relações entre
conceitos e procedimentos dos diferentes campos da Matemática (Aritmética,
Álgebra, Geometria, Estatística e Probabilidade) e de outras áreas do
conhecimento, sentindo segurança quanto à própria capacidade de construir e
aplicar conhecimentos matemáticos, desenvolvendo a autoestima e a
perseverança na busca de soluções. |
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Habilidade |
(EF06MA29) Analisar e descrever mudanças
que ocorrem no perímetro e na área de um quadrado ao se ampliarem ou
reduzirem, igualmente, as medidas de seus lados, para compreender que o
perímetro é proporcional à medida do lado, o que não ocorre com a área. |
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Objetivos de aprendizagem |
Calcular o perímetro e a área de
retângulos. Perceber proporção entre medidas dos
lados correspondentes de um retângulo. |
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Conteúdos |
Perímetro e área de retângulos. |
Malha quadriculada (1 cm × 1 cm).
Régua.
Desenvolvimento
Quantidade de aulas: 2.
Aula 1
Iniciar a aula organizando os alunos em duplas e entregar uma representação da figura de um retângulo em EVA e malhas quadriculadas para cada dupla.
O objetivo dessa aula é explorar os conceitos de perímetro e área, permitindo ao aluno que relembre e retome esses conceitos estudados em aulas anteriores.
Inicialmente, perguntar aos alunos o que é perímetro de uma figura geométrica plana ou o que lembram a respeito desse conceito. Verificar as respostas que forem compartilhadas e se todos compreenderam o que foi dito pelo aluno. Em seguida, propor a cada dupla que desenhe o contorno da representação do retângulo em EVA na malha quadriculada. Para isso, os alunos podem colocar a representação do retângulo sobre a malha quadriculada e, com uma caneta ou lápis, traçar seu contorno ou utilizar a régua para medir os lados e reproduzi-lo na malha quadriculada.
Caso nenhum aluno lembre o significado de perímetro, solicitar que tracem o contorno da representação do retângulo em EVA, entregue no início da aula, na malha quadriculada, sem muitas explicações. Pode-se questioná-los, antes de iniciarem a atividade, se entenderam a proposta e como pretendem fazer o que foi solicitado.
Perguntar aos alunos o que foi desenhado. Espera-se que eles respondam que foi o contorno da representação do retângulo em EVA ou algo do tipo. Dizer a eles que, o comprimento do contorno que desenharam corresponde, justamente, ao perímetro de um retângulo. É importante deixar claro aos alunos que o perímetro do retângulo é o comprimento do seu contorno.
Em um segundo momento da aula, perguntar aos alunos o que é área de uma figura. É possível que os alunos relembrem o significado desse conceito e que também já foi estudado em anos anteriores. De qualquer modo, explicitar aos alunos que a área de uma figura geométrica plana corresponde à medida da região ocupada por ela. No caso do contorno da representação do retângulo em EVA que desenharam, a medida da região delimitada por esse contorno corresponde à área da figura. Solicitar aos os alunos que pintem essa região.
Para aproveitar esse trabalho inicial, pode-se propor dois questionamentos para discussão.
É possível determinar o perímetro desse retângulo?
É possível determinar a área desse retângulo?
O objetivo do primeiro questionamento não é apenas determinar o perímetro do retângulo na malha quadriculada, mas também que os alunos observem algumas características da figura e compartilhem as estratégias adotadas para determinar seu perímetro.
Orientar os alunos a pensarem nessas estratégias, perguntando a eles como podem proceder para determinar essa medida. Eles podem utilizar algumas estratégias como contar quantos segmentos de reta de 1 cm (medida do lado de uma figura de quadradinho que compõe a malha quadriculada) tem o contorno da figura ou utilizar a régua para medir quantos centímetros possuem os lados dessa figura. Caso surja alguma outra estratégia utilizada pelos alunos, verificar sua validade e solicitar que a compartilhem com os demais colegas e, em seguida, os deixem calcular o perímetro.
O objetivo do segundo questionamento também é observar as estratégias adotadas pelos alunos para determinar a área do retângulo que desenharam e, posteriormente, determinar a área desse retângulo. Perguntar como eles podem proceder para determinar essa medida. É possível que algum aluno multiplique as medidas de cada dimensão (comprimento e largura) do retângulo. Se esse for o caso, questione sobre o significado de multiplicarmos o comprimento e a largura de um retângulo para obter sua área.
Lembrar os alunos da necessidade de estabelecer uma unidade de medida para indicar a área de uma figura e que podemos, nesse caso, adotar uma figura de quadradinho da malha como uma unidade de área, cuja medida é de 1 cm². Então, pode-se fazer a seguinte pergunta aos alunos: Qual é a área, em centímetros quadrados, do retângulo? Conceder um tempo para que as duplas discutam entre si e façam as mobilizações e associações necessárias para responder à pergunta.
Os alunos devem perceber que é necessário contar quantos quadradinhos cobrem toda a região interna do retângulo na malha quadriculada e concluir que, uma vez que esse retângulo é coberto por 60 figuras de quadradinhos de 1 cm² de área cada, sua área é igual a 60 cm², que corresponde à área da representação do retângulo em EVA.
Verificar com os alunos quem não entendeu algum procedimento, se tem alguma dúvida acerca do conceito de área ou de como foi calculada a área da representação do retângulo em EVA com auxílio da malha quadriculada.
Para concluir, perguntar aos alunos se há outra maneira de determinar a quantidade total de quadradinhos da malha correspondente à do retângulo, sem ter que contá-los um a um. Espera-se que eles percebam que a área pode ser calculada ao multiplicar o comprimento e a largura.
Solicitar que cada dupla registre na própria folha de papel com a malha quadriculada, caso ainda não tenham feito, a medida do perímetro e da área da figura de retângulo que desenharam, para que sejam utilizadas na próxima aula.
Aula 2
Para iniciar a aula, organizar novamente os alunos em duplas e entregar uma cópia do quadro a seguir para cada dupla.
Retângulo | Comprimento (cm) | Largura (cm) | Perímetro (cm) | Área (cm²) |
Retângulo 1 | ||||
Retângulo 2 |
Dizer aos alunos que o objetivo dessa aula é comparar as medidas relacionadas a dois retângulos: o retângulo 1 terá as dimensões do retângulo trabalhado na aula anterior e o retângulo 2 será construído nessa aula, de acordo com as orientações a seguir.
Solicitar que cada dupla represente um retângulo na malha quadriculada de maneira que ele tenha a metade do comprimento e a metade da largura do retângulo 1. Em seguida, que calcule o perímetro e a área desse retângulo e que registre no quadro as informações correspondentes.
Retângulo | Comprimento (cm) | Largura (cm) | Perímetro (cm) | Área (cm²) |
Retângulo 1 | 10 | 6 | 32 | 60 |
Retângulo 2 | 5 | 3 | 16 | 15 |
Após as duplas terminarem o preenchimento do quadro, perguntar aos alunos qual a relação entre o comprimento do retângulo 1 e do retângulo 2 e também a relação entre as larguras. Nesse momento, espera-se que os alunos percebam que as medidas dos lados do retângulo 1 correspondem ao dobro das respectivas medidas dos lados do retângulo 2. Em seguida, propor aos alunos que verifiquem se existe essa mesma relação entre as demais medidas indicadas (perímetro e área).
Os alunos devem perceber que a área do retângulo 1 não corresponde ao dobro da área do retângulo 2, como ocorre com as demais medidas correspondentes. E ainda, pode-se fazer a seguinte pergunta aos alunos: se dobrarmos as medidas dos lados de um retângulo qualquer, o que poderemos esperar em relação ao perímetro do retângulo obtido em relação ao original?
Para complementar, questionar os alunos sobre qual seria o perímetro e a área de um retângulo 3, cujas medidas dos lados correspondessem ao triplo das medidas dos lados do retângulo 1. Sugerir que calculem o perímetro e a área do retângulo 3 e registrem as medidas obtidas no mesmo quadro preenchido anteriormente.
Retângulo | Comprimento (cm) | Largura (cm) | Perímetro (cm) | Área (cm²) |
Retângulo 1 | 10 | 6 | 32 | 60 |
Retângulo 2 | 5 | 3 | 16 | 15 |
Retângulo 3 | 18 | 30 | 96 | 540 |
Perguntar aos alunos se existe alguma relação entre os perímetros dos retângulos 3 e 1. Eles devem perceber que 96 é o triplo de 32, assim como 18 e 30 também são o triplo de 6 e 10, respectivamente; ou seja, o perímetro e as medidas dos lados do retângulo 3 correspondem ao triplo do perímetro e das medidas dos lados correspondentes do retângulo 1.
Em seguida, perguntar se essa relação também é válida entre a área dos retângulos 3 e 1. Orientar os alunos para que percebam que a área do retângulo 3 corresponde a 9 vezes (540 : 60) a área do retângulo 1, ou seja, a relação existente entre as medidas de seus lados e seus perímetros não é válida entre as medidas das áreas correspondentes.
Para auxiliar os alunos a perceberem tais relações, fazer perguntas como as sugeridas a seguir:
Ao dobrar as medidas dos lados do retângulo, o que ocorre com o perímetro?
Quando as medidas dos lados do retângulo são triplicadas, o que ocorre com o perímetro?
Quando as medidas dos lados do retângulo são reduzidas pela metade, o que ocorre com o perímetro?
Em relação à terceira questão, comparar com os alunos as medidas dos lados dos retângulos 1 e 2, destacando que as medidas dos lados do retângulo 2 correspondem à metade das respectivas medidas dos lados do retângulo 1 e que isso também ocorre com seus perímetros.
Para finalizar, solicitar às duplas que sintetizem as observações que realizaram durante as aulas, envolvendo a relação observada entre as medidas dos lados e os perímetros de dois retângulos, sendo um deles uma ampliação ou redução do outro, e que essa mesma relação não foi observada entre suas áreas.
Para trabalhar dúvidas
Caso algum aluno apresente dúvidas em relação ao cálculo do perímetro ou da área de um retângulo, retomar esse estudo, que pode ser realizado com apoio de malha quadriculada. Além disso, também é possível que algum aluno não compreenda adequadamente as relações indicadas por "dobro", "triplo" ou "metade", o que pode ser retomado com o estudo das operações de multiplicação e de divisão, ou seja, o dobro de um número corresponde a esse número multiplicado por 2, o triplo de um número corresponde a esse número multiplicado por 3 e a metade de um número corresponde a esse número dividido por 2.
Avaliação
Para verificar se os alunos compreenderam e assimilaram os conceitos explorados nas aulas propostas nesta sequência didática, propor a eles, individualmente, que resolvam as atividades sugeridas a seguir.
1. Observe a imagem a seguir e responda.
Elaborado pelo autor.
a) Considerando que cada figura de quadradinho na malha tenha lados medindo 1 cm, determine o perímetro dos quadrados ABCD e EFGH representados.
ABCD: 3 × 4 = 12; 12 cm. EFGH: 6 × 4 = 27; 24 cm.
b) Pode-se afirmar que o quadrado EFGH é uma ampliação do quadrado ABCD? Justifique sua resposta.
Sim, pois a medida de cada lado do quadrado EFGH corresponde ao dobro da medida de cada lado do quadrado ABCD.
2. Dois retângulos possuem 14 cm e 42 cm de perímetro cada. Sabe-se que um deles é uma ampliação do outro e que um dos lados do menor retângulo mede 2 cm. Responda:
Quais são as demais medidas dos lados dos dois retângulos?
Como o perímetro do retângulo maior corresponde ao triplo do perímetro do retângulo menor (42 = 3 · 14) e um é ampliação do outro, então as medidas dos lados do retângulo maior devem ser iguais ao triplo das medidas correspondentes aos lados do retângulo menor. Assim, um dos lados do retângulo maior deve medir 6 cm (2 · 3). E ainda, outro lado do retângulo menor deve medir 5 cm e outro lado do retângulo maior deve medir 15 cm . Portanto, o retângulo menor tem dimensões 2 cm × 5 cm e o retângulo maior tem dimensões 6 cm × 15 cm.
Calcule a área de cada um dos retângulos.
Retângulo menor: 2 × 5 = 10; 10 cm². Retângulo maior: 6 × 15 = 90; 90 cm².
Ampliação
Pode-se explorar a relação existente entre as áreas de dois retângulos, sendo um deles ampliação ou redução do outro. Apresentar, por exemplo, três retângulos com as medidas de seus lados indicadas e solicitar aos alunos que preencham um quadro contendo as medidas dos lados e da área de cada retângulo, a fim de que notem que, ao dobrarmos as medidas do lado de um retângulo, sua área corresponderá a 4 vezes a área inicial; ao triplicarmos as medidas de seus lados, sua área corresponderá a 9 vezes a área inicial, e assim por diante. Os alunos devem perceber que, se multiplicarmos as medidas do lado de um retângulo inicial por um número positivo, sua área inicial será multiplicada pelo quadrado desse número.
Fonte: PNLD
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