SEQUÊNCIA DIDÁTICA POLÍGONOS NO PLANO CARTESIANO

Sequência didática

Polígonos no plano cartesiano

Nesta sequência didática, serão trabalhadas atividades investigativas a fim de que os alunos mobilizem conhecimentos e ampliem a compreensão quanto à classificação dos polígonos em relação aos lados e ângulos, se são polígonos regulares ou não regulares. Serão trabalhadas a localização de pares ordenados no plano cartesiano para indicar os vértices desses polígonos.

A BNCC na sala de aula

Objetos de conhecimento	Plano cartesiano: associação dos vértices de um polígono a pares ordenados. Polígonos: classificações quanto ao número de vértices, às medidas de lados e ângulos e ao paralelismo e perpendicularismo dos lados.
Competências específicas	1. Reconhecer que a Matemática é uma ciência humana, fruto das necessidades e preocupações de diferentes culturas, em diferentes momentos históricos, e é uma ciência viva, que contribui para solucionar problemas científicos e tecnológicos e para alicerçar descobertas e construções, inclusive com impactos no mundo do trabalho. 2. Desenvolver o raciocínio lógico, o espírito de investigação e a capacidade de produzir argumentos convincentes, recorrendo aos conhecimentos matemáticos para compreender e atuar no mundo.
Habilidades	(EF06MA16) Associar pares ordenados de números a pontos do plano cartesiano do 1º quadrante, em situações como a localização dos vértices de um polígono. (EF06MA18) Reconhecer, nomear e comparar polígonos, considerando lados, vértices e ângulos, e classificá-los em regulares e não regulares, tanto em suas representações no plano como em faces de poliedros. (EF06MA19) Identificar características dos triângulos e classificá-los em relação às medidas dos lados e dos ângulos. (EF06MA20) Identificar características dos quadriláteros, classificá-los em relação a lados e a ângulos e reconhecer a inclusão e a intersecção de classes entre eles.
Objetivo de aprendizagem	Representar polígonos no plano cartesiano por meio das coordenadas de seus vértices explorando as propriedades e características de triângulos e quadriláteros.
Conteúdos	Polígonos regulares e polígonos não regulares. Triângulos escalenos, equiláteros e isósceles. Quadriláteros.

Materiais e recursos

Projetor multimídia.

Computador com acesso à internet.

Régua.

Lápis.

Borracha.

Malha quadriculada.

Lápis de cor.

Desenvolvimento

Quantidade de aulas: 4 aulas.

Aulas 1 e 2

Iniciar a aula, organizando os alunos em duplas e dizer que René Descartes foi um importante filósofo, matemático e físico que viveu no século XVII. Depois, propor que pesquisem na internet, utilizando fontes confiáveis, e realizem a leitura de textos a respeito de René Descartes, sua história e suas contribuições para a Matemática, o que pode ser feito em um laboratório de informática na escola ou pedido previamente para que seja feito em casa. É importante selecionar previamente algumas informações que considerar mais relevantes, de acordo com o contexto e realidade escolar, e o desenvolvimento de cada turma. A seguir, há algumas sugestões que podem direcionar essa leitura.

FOLHA Educação. Resumão/Matemática - O "plano" cartesiano. Disponível em: <www1.folha.uol.com.br/folha/educacao/ult305u2209.shtml?>. Acesso em: 14 ago. 2018.

SANTOS, R.; CRUZ, F. A Matemática de René Descartes. Disponível em: <http://seer.uece.br/?journal=BOCEHM&page=article&op=download&path%5B%5D=1547&path%5B%5D=1831>. Acesso em: 14 ago. 2018.

Após a leitura, entregar uma folha de papel com malha quadriculada para cada aluno e explicar a construção do plano cartesiano a fim de que o representem na malha quadriculada, dizendo que o eixo horizontal (eixo das abscissas) e o eixo vertical (eixo das ordenadas) se cruzam perpendicularmente. Explorar apenas o primeiro quadrante do plano cartesiano destacando a origem – o ponto dado pelas coordenadas (0, 0) – e o modo como os números naturais estão posicionados nos eixos.

Explorar a ideia de par ordenado e como as coordenadas são utilizadas para indicar a localização de pontos no plano cartesiano. Apresentar as coordenadas de alguns pontos na lousa como exemplo e solicitar que os alunos os localizem no plano cartesiano. Pode-se propor alguns pontos, como:

A(1, 0)

B(4, 5)

C(5, 0)

D(0, 4)

E(2, 2)

F(5, 1)

Depois, representar alguns pontos no plano cartesiano na lousa e pedir aos alunos que indiquem as coordenadas de cada um deles. Conceder o tempo necessário a fim de que os alunos façam a reprodução no papel quadriculado desses pontos. Além disso, é importante explorar a diferença entre os pares ordenados como (1, 0) e (0, 1), por exemplo, para que os alunos percebam que a ordem dos números das coordenadas indicadas deve ser considerada. Para isso, solicitar aos alunos que troquem o número da abscissa com o da ordenada nos pares ordenados de cada um dos pontos explorados inicialmente e os representem no plano cartesiano, de maneira que possam comparar as representações dos respectivos pontos. A seguir, os pontos que os alunos devem obter:

A'(0, 1)

B'(5, 4)

C'(0, 5)

D'(4, 0)

E'(2, 2)

F'(1, 5)

Elaborado pelo autor.

Representação dos pontos no 1º quadrante do plano cartesiano.

Dizer aos alunos que as ideias do sistema de coordenadas e pares ordenados estão presentes em algumas situações do cotidiano, como nas indicações de latitude e longitude, a localização do cursor do mouse na tela de um computador etc. Pode-se explicar que no GPS é utilizado um sistema de coordenadas parecido ao usado no plano cartesiano, porém em uma superfície esférica, já que o formato do planeta lembra o formato de uma esfera (embora achatado nos polos).

Após essa conversa inicial, propor aos alunos que façam algumas atividades como as sugeridas a seguir.

1. Escreva as coordenadas de cada um dos pontos representados no plano cartesiano a seguir.

Elaborado pelo autor.

A(3, 3); B(5, 3); C(9, 3); D(3, 5); E(5, 6); F(7, 7); G(9, 0)

2. Represente no plano cartesiano os pontos listados a seguir.

A(1, 5) B(4, 8) C(7, 8) D(6, 6) E(9, 8) F(1, 2) G(1, 4)

Elaborado pelo autor.

Resposta:

Elaborado pelo autor.

Para finalizar a aula, corrigir as atividades e sistematizar algumas características que possam ser observadas em relação às coordenadas de um ponto e sua localização no plano cartesiano, propondo, por exemplo, questões como:

O que acontece quando uma das coordenadas de um ponto é igual a zero?

O ponto será representado sobre o eixo vertical (ordenada igual a zero) ou sobre o eixo horizontal (abcissa igual a zero).

Se dois pontos tiverem a mesma ordenada, o que podemos afirmar a respeito de suas posições no plano cartesiano? E se dois pontos tiverem a mesma abscissa?

Os pontos estarão à mesma distância do eixo horizontal. Os pontos estarão à mesma distância do eixo vertical. Outra possibilidade de resposta é dizer que os pontos pertencem a uma reta paralela ao eixo das abscissas, ou a uma reta paralela ao eixo das ordenadas; ou ainda, que os pontos estão alinhados na horizontal ou na vertical.

É possível traçar uma reta que passe pelos pontos (1, 1) e (6, 7)?

Sim, pois por dois pontos quaisquer no plano sempre passa uma reta.

E é possível traçar uma reta que passe, ao mesmo tempo, pelos pontos (1, 1), (2, 1), e (6, 1)?

Sim, pois os pontos têm ordenadas iguais e, portanto, estão a uma mesma distância do eixo horizontal, ou seja, são colineares.

Que outros pontos estão na mesma reta que passa por (7, 8) e (7, 6)?

Os pontos de abscissa igual a 7, como (7, 4), (7, 2) etc.

Aulas 3 e 4

Para iniciar a aula, organizar novamente os alunos em duplas e perguntar para a turma o que lembram das discussões e atividades envolvendo representações de pontos no plano cartesiano, realizada na aula anterior, que gostariam de comentar, assim como possíveis dúvidas. Entregar para cada aluno uma folha de papel com malha quadriculada a fim de que eles construam o primeiro quadrante do plano cartesiano.

Propor atividades, como as sugeridas a seguir, para que os alunos reconheçam e nomeiem polígonos formados por pontos representados nesse plano cartesiano e para que explorem características desses polígonos.

1. Represente no plano cartesiano os pontos A(2, 3), B(4, 3), C(4, 6) e D(2, 6) e, depois, responda aos itens a seguir.

a) Qual é o polígono ABCD que pode ser formado por esses pontos?

Respostas possíveis: Quadrilátero; paralelogramo; retângulo.

b) Os ângulos internos desse polígono são congruentes?

Sim, todos medem 90°.

c) E os lados desse polígono, têm a mesma medida?

Não, apenas os lados que são paralelos entre si é que são congruentes.

2. Agora represente os pontos E(7, 2), F (9, 2) e G(8, 5). É possível obter um polígono com vértices nesses pontos? Por quê?

Sim, um triângulo, pois os pontos não são todos colineares entre si.

3. Represente um triângulo escaleno e um triângulo retângulo e, depois, escreva as coordenadas dos vértices de cada triângulo.

As respostas variam de acordo com os triângulos representados pelos alunos.

4. É possível representar um quadrilátero que não possua todos os ângulos internos retos, indicando as coordenadas de seus vértices. Qual quadrilátero pode ser obtido dessa maneira?

É possível obter losangos, paralelepípedos, trapézios, entre outros quadriláteros. Algumas possibilidades estão representadas na figura a seguir.

Elaborado pelo autor.

5. Em cada item a seguir, estão indicadas as coordenadas de vértices consecutivos de alguns trapézios.

Trapézio ABCD: A(0, 0); B(0, 3); C(4, 3); D(6,0)

Trapézio MNOP: M(6, 1); N(5, 4); O(10, 4); P (8, 1)

Trapézio RSTU: R(2, 5); S(4, 8); T(6 ,8); U(8, 5)

a) Represente esses trapézios no plano cartesiano.

Elaborado pelo autor.

b) Desconsiderando a posição, quais as diferenças entre esses trapézios? E que características possuem em comum?

Resposta possível: um dos trapézios possui ângulo reto, outro possui um par de lados congruentes e outro possui todos os lados e ângulos internos com medidas diferentes entre si. Todos eles são quadriláteros com um par de lados paralelos entre si.

c) Como pode ser classificado cada um desses trapézios?

Trapézio ABCD: trapézio retângulo ou trapézio escaleno; trapézio MNOP: trapézio escaleno; polígono RSTU: trapézio isósceles.

6. Em um plano cartesiano, represente um paralelogramo com quatro ângulos retos e um trapézio e, depois, responda:

a) Quais as coordenadas dos vértices dos polígonos que você representou?

A resposta depende dos polígonos representados pelo aluno.

b) O trapézio construído é um trapézio retângulo, isósceles ou escaleno?

A resposta depende do trapézio representado pelo aluno.

c) E o paralelogramo que você representou, pode receber que outra classificação?

Retângulo. Alguns alunos poderão ter construído um retângulo de lados congruentes, isto é, um quadrado.

Proporcionar um tempo para que as duplas comparem as respostas das atividades com as de outras duplas. Solicitar que cada dupla mostre para a turma os triângulos representados na atividade 3 e os quadriláteros representados nas atividades 4, 5 e 6 a fim de que os alunos comparem as diferentes construções e utilizem termos próprios da Matemática para nomeá-los e apresentar suas características.

Para trabalhar dúvidas

Caso algum aluno apresente dificuldades na compreensão das atividades propostas, procurar auxiliá-lo em suas dúvidas. Pode-se propor que realizem uma pesquisa de elementos do cotidiano que lembrem polígonos, como o casco de tartarugas ou os favos das abelhas que lembram hexágonos, ou a casca do abacaxi, que possui relevos que lembram pentágonos etc. Depois, pedir ao aluno que classifique cada um desses polígonos quanto aos lados e ângulos e em regular ou não regular.

Avaliação

Certificar-se de que todos os alunos registraram as resoluções das atividades propostas e verificar, por exemplo, se:

os alunos registram de maneira satisfatória as atividades.

os exercícios realizados em sala de aula foram todos corrigidos.

o aluno consegue identificar seu erro e então corrigi-lo.

todos os alunos participam e interagem durante as discussões e correções das atividades.

Além dessas observações, propor algumas atividades, como as sugeridas a seguir, para verificar se os alunos compreenderam e assimilaram os conceitos explorados nas aulas propostas nesta sequência didática.

1. Paulo representou em um plano cartesiano o polígono EFGH e uma reta AB, sendo as coordenadas dos pontos dadas por E(2, 2), F(2, 7), G(4, 7), H(4, 2), A(4, 3) e B(3, 5).

a) Represente no plano cartesiano o mesmo polígono EFGH e reta AB representado por Paulo.

Resposta:

Elaborado pelo autor.

b) Como pode ser classificado o polígono EFGH?

Respostas possíveis: Quadrilátero; paralelogramo; retângulo.

c) A reta AB intersecta o polígono EFGH em qual(is) lado(s)?

Intersecta os lados $\overline{GH}$ e $\overline{EF}$.

2. Construa um plano cartesiano na malha quadriculada a seguir para representar quadriláteros cujos vértices correspondam a vértices dos quadradinhos da malha e que tenham ao menos dois ângulos agudos e dois lados paralelos entre si. Depois, classifique os quadriláteros obtidos.

Há diversas possibilidades de respostas. Os polígonos poderão ser losangos, trapézios isósceles ou escaleno, e paralelogramos.

Ampliação

Pode-se propor um jogo Batalha Naval com polígonos em que, no lugar das embarcações, utiliza-se alguns triângulos e quadriláteros (predeterminados), como os indicados a seguir. O plano cartesiano pode ser composto na folha de papel quadriculado e ter dimensões de 10 por 10 até 20 por 20, dependendo do desenvolvimento dos alunos de cada turma. Os alunos recortam os polígonos predefinidos e jogam em duplas. Cada aluno da dupla deve posicionar os polígonos no plano cartesiano de modo que os vértices fiquem sobre as coordenadas compostas pelos números naturais. Um aluno não pode ver a posição dos polígonos do outro e, um por vez, deve falar uma coordenada em que acredita corresponder ao vértice de um polígono; se acertar, o aluno oponente deve dizer qual foi o polígono "bombardeado". Para "afundar" uma embarcação, o aluno deve acertar as coordenadas de todos os vértices do polígono. Vence o aluno da dupla que conseguir "afundar" mais "embarcações" representadas pelos polígonos em um determinado tempo ou atingir todas as embarcações primeiro.

Elaborado pelo autor.

Exemplo de triângulos e polígonos para representar as embarcações do jogo Batalha Naval dos polígonos.

Fonte: PNLD