SEQUÊNCIA DIDÁTICA: Ângulos

Sequência didática

Ângulos

Nessa sequência didática, propõe-se o estudo de ângulos, de algumas propriedades envolvendo suas medidas quando formados por retas paralelas e por uma transversal e, ainda, a soma dos ângulos internos de polígonos.

A BNCC na sala de aula

Objetos de conhecimento

Relações entre os ângulos formados por retas paralelas intersectadas por uma transversal.

Polígonos regulares: quadrado e triângulo equilátero

Competência específica

5. Utilizar processos e ferramentas matemáticas, inclusive tecnologias digitais disponíveis, para modelar e resolver problemas cotidianos, sociais e de outras áreas de conhecimento, validando estratégias e resultados.

Habilidades

(EF07MA23) Verificar relações entre os ângulos formados por retas paralelas cortadas por uma transversal, com e sem uso de softwares de geometria dinâmica.

(EF07MA27) Calcular medidas de ângulos internos de polígonos regulares, sem o uso de fórmulas, e estabelecer relações entre ângulos internos e externos de polígonos, preferencialmente vinculadas à construção de mosaicos e de ladrilhamentos.

(EF07MA28) Descrever, por escrito e por meio de um fluxograma, um algoritmo para a construção de um polígono regular (como quadrado e triângulo equilátero), conhecida a medida de seu lado.

Objetivos de aprendizagem

Perceber que, ao traçar duas retas paralelas e um transversal, são determinados pares de ângulos congruentes ou suplementares entre si.

Determinar a soma das medidas dos ângulos internos de polígonos.

Determinar a medida dos ângulos internos de um polígono regular.

Conteúdos

Ângulos formados por duas retas paralelas e uma transversal.

Ângulos internos de um polígono convexo.

Soma das medidas dos ângulos internos de um polígono.

Materiais e recursos

Papel vegetal.

Régua.

Esquadros.

Transferidor.

Folhas de papel sulfite.

Malha quadriculada.

Tesoura escolar.

Lápis de cor.

Cola.

Desenvolvimento

Quantidade de aulas: 5.

Aula 1

Iniciar a aula representando, na lousa, duas retas paralelas e uma reta transversal a ela e destacando os ângulos formados por essas retas, conforme sugerido a seguir. Se possível, utilizar um software de geometria dinâmica.

Elaborado pelo autor.

Ângulos formados por duas retas paralelas cortadas por uma transversal.

Destacar junto com os alunos alguns pares de ângulos e dizer que:

Os ângulos $\hat{A}$ e $\hat{E}$ são correspondentes, assim como os pares de ângulos $\hat{B}$ e $\hat{F}$, $\hat{C}$ e $\hat{G}$, e $\hat{D}$ e $\hat{H}$.

Os ângulos $\hat{A}$ e $\hat{C}$ são opostos pelo vértice, assim como os pares de ângulos $\hat{B}$ e $\hat{D}$, $\hat{F}$ e $\hat{H}$, e $\hat{E}$ e $\hat{G}$.

Os ângulos $\hat{A}$ e $\hat{H}$ são colaterais externos, assim como o par de ângulos $\hat{B}$ e $\hat{G}$.

Os ângulos $\hat{C}$ e $\hat{F}$ são colaterais internos, assim como o par de ângulos $\hat{D}$ e $\hat{E}$.

Os ângulos $\hat{A}$ e $\hat{G}$ são alternos externos, assim como o par de ângulos $\hat{B}$ e $\hat{H}$.

Os ângulos $\hat{C}$ e $\hat{E}$ são alternos internos, assim como o par de ângulos $\hat{D}$ e $\hat{F}$.

Apresentar, como exemplo, outras representações, variando a disposição das retas e tamanho dos ângulos, propondo aos alunos que destaquem e classifiquem alguns pares de ângulos conforme feito anteriormente.

Organizar os alunos em grupos de quatro integrantes. Solicitar que representem, em uma folha com malha quadriculada, duas retas paralelas e uma reta transversal. Em seguida, solicitar que nomeiem e destaquem, com cores diferentes, os ângulos formados por essas retas com vértice em um dos pontos de interseção, como apresentado no exemplo a seguir.

Elaborado pelo autor.

Em seguida, solicitar aos alunos que, utilizando papel vegetal, reproduzam os ângulos que destacaram. Orientá-los para que posicionem o papel vegetal sobre a malha quadriculada de maneira que um dos ângulos reproduzidos fique sobre um ângulo da figura na malha. Os alunos devem realizar tentativas de ajustes a fim de observarem quais ângulos são congruentes entre si, o que deve ser feito considerando todos os oito ângulos formados pelas retas paralelas e a transversal. Em vez do papel vegetal, pode-se também realizar essa atividade utilizando o transferidor.

Espera-se que os alunos percebam que os pares de ângulos opostos pelo vértice são congruentes entre si, assim como os pares de ângulos correspondentes, os pares de ângulos alternos internos e os pares de ângulos alternos externos. Além disso, verificar se eles notaram que os pares de ângulos colaterais internos são suplementares entre si, assim como os pares de ângulos colaterais externos. Dizer que dois ângulos adjacentes são suplementares nessa construção.

Ao final da aula, propor aos alunos que elaborem um texto no qual devem relatar o que estudaram e as propriedades que verificaram nessa aula, utilizando as anotações que tiverem.

Aula 2

Iniciar esta aula dizendo para a turma que os triângulos possuem algumas propriedades interessantes, dentre elas a soma das medidas de seus ângulos internos.

Distribuir duas folhas de papel sulfite e uma de papel vegetal para cada aluno, que serão utilizadas para desenhar e realizar colagens, e recortar, respectivamente. Solicitar aos alunos que desenhem um triângulo qualquer na folha de papel sulfite e destaquem seus ângulos internos com cores diferentes.

Elaborado pelo autor.

Representação de um triângulo com seus ângulos internos destacados.

Em seguida, eles devem reproduzir esse triângulo utilizando o papel vegetal, inclusive os ângulos destacados, e recortar os ângulos. Solicitar que ajustem os pedaços recortados, correspondentes a cada ângulo interno do triângulo, de maneira que o vértice de cada ângulo coincida em um mesmo ponto, sem sobreposições, e os colem numa folha de papel sulfite como indicado a seguir.

Elaborado pelo autor.

Perguntar aos alunos o que eles podem dizer, sem realizar medições, a respeito da soma das medidas dos ângulos internos do triângulo que representaram. Verificar as respostas apresentadas por eles e conduzir uma discussão com a turma a fim de que percebam que todos obtiveram um ângulo raso após as colagens. Dizer que, em qualquer triângulo, a soma das medidas de seus ângulos internos é igual a 180°. Aproveitar e propor as seguintes atividades aos alunos.

1. Qual a soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo equilátero?

180°.

2. Se um triângulo tem um ângulo interno de 70° e um de 65°, quanto mede o outro ângulo interno desse triângulo?

45°.

3. É possível um triângulo ter três ângulos internos agudos?

Sim.

4. É possível um triângulo ter três ângulos internos obtusos?

Não.

Aula 3

A soma das medidas dos ângulos internos de um polígono pode ser determinada por meio de uma fórmula, a partir da quantidade de lados do polígono. No entanto, o propósito dessa aula é que os alunos percebam a possibilidade de decompor um polígono convexo em triângulos e, assim, determinar a soma das medidas dos ângulos internos de qualquer polígono convexo.

Iniciar a aula propondo aos alunos que desenhem a figura de um quadrilátero convexo qualquer e que destaquem seus ângulos internos.

Elaborado pelo autor.

Representação de um quadrilátero convexo.

Solicitar que escolham um dos vértices e que tracem todas as diagonais que partem dele.

Elaborado pelo autor.

Quadrilátero decomposto em triângulos.

Em seguida, questionar os alunos como eles poderiam determinar a soma das medidas dos ângulos internos do quadrilátero que representaram, sem realizar medições. Espera-se que eles observem que a soma das medidas dos ângulos internos de um quadrilátero é igual à soma das medidas dos ângulos internos dos dois triângulos nos quais esse quadrilátero foi decomposto, ou seja, 360° (180 + 180 = 360).

Propor aos alunos que desenhem a figura de um pentágono convexo e tracem todas as diagonais que partem de um mesmo vértice. Depois, propor as seguintes atividades.

1. Em quantos triângulos o pentágono foi decomposto?

Em 3 triângulos.

2. Qual a soma da medida dos ângulos internos de cada triângulo?

180°.

3. Qual a soma da medida dos ângulos internos de um pentágono convexo?

540°.

Após os alunos resolverem as atividades, propor a eles que representem outros polígonos convexos e que determinem a soma das medidas dos ângulos internos de cada um, preenchendo um quadro como o indicado a seguir.

Polígono convexo	Quantidade de diagonais que partem de um mesmo vértice	Quantidade total de triângulos que são obtidos ao traçar as diagonais que partem de um mesmo vértice	Soma das medidas dos ângulos internos do polígono convexo
Triângulo	—	—	180°
Quadrilátero	1	2	360°
Pentágono	2	3	540°
Hexágono	3	4	720°
Heptágono	4	5	900°
Octógono	5	6	1 080°

Para finalizar a aula, propor aos alunos que elaborem um texto explicando como determinar a soma das medidas dos ângulos internos de um polígono convexo qualquer, sem realizar medições.

Aulas 4 e 5

Iniciar a aula organizando os alunos em duplas. Retomar o quadro e o texto produzidos pelos alunos na aula anterior, sobre a soma dos ângulos internos de polígonos convexos, e propor às duplas que construam outro quadro com informações referentes a polígonos regulares, como o indicado a seguir.

Polígono regular	Soma das medidas dos ângulos internos	Quantidade total de ângulos internos	Medida de cada ângulo interno
Triângulo equilátero	180°	3	60°
Quadrado	360°	4	90°
Pentágono regular	540°	5	108°
Hexágono regular	720°	6	120°
Heptágono regular	900°	7	≃128,57°
Octógono regular	1 080°	8	135°

Caso julgar necessário, relembrar com os alunos o que são polígonos regulares, mencionando que todos os seus ângulos internos são congruentes, assim como ocorre com os lados. Dessa maneira, eles devem perceber que para determinar a medida de cada ângulo interno de um polígono regular basta dividir a soma das medidas de seus ângulos internos pela quantidade total de ângulos internos desse polígono. Caso os alunos tenham dificuldade em perceber isso, ao preencher a terceira coluna do quadro, sugerir que preencham inicialmente as duas primeiras colunas; em seguida, propor questionamentos como:

Qual a soma das medidas de todos os ângulos internos de um triângulo equilátero?

Se todos os ângulos internos de um triângulo equilátero têm mesma medida, qual é essa medida?

E agora, como posso proceder para determinar a medida dos ângulos internos de um pentágono regular? E para os outros polígonos regulares?

Após as duplas preencherem o quadro, solicitar que descrevam, por meio de um fluxograma, os procedimentos para representar um polígono regular utilizando régua e transferidor. Deixar que cada dupla escolha o polígono que desejar. Uma possibilidade de fluxograma que pode ser elaborado para a construção de uma representação de quadrado com 5 cm de lado é:

Fluxograma de um quadrado de lados medindo 5 cm.

Elaborado pelo autor.

Após finalizarem, solicitar que cada dupla apresente o fluxograma que elaboraram para o restante da turma. Durante as apresentações, verificar se o fluxograma elaborado pelas duplas está correto, bem como os argumentos que utilizarem. Promover uma roda de conversa a fim de que os alunos comentem o que há em comum e de diferente entre os fluxogramas que cada dupla apresentou.

Para trabalhar dúvidas

Caso algum aluno tenha alguma dúvida em relação ao estudo dos ângulos formados por duas retas paralelas e uma transversal, retomar o que são os chamados ângulos opostos pelo vértice, ângulos correspondentes, ângulos colaterais e ângulos alternos. Em relação à medida desses ângulos, propor ao aluno que meça cada ângulo utilizando transferidor a fim de que perceba quais pares de ângulos são congruentes entre si e quais são suplementares. Pode-se, também, representar as retas e os ângulos na lousa ou em um software de geometria dinâmica e medir os ângulos formados.

Avaliação

Durante o trabalho com as aulas dessa sequência didática, envolvendo o estudo dos ângulos formados por duas retas paralelas e uma transversal, observar se os alunos compreenderam as propriedades estudadas.

Verificar se os alunos compreenderam que a soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo é 180° e que, para determinar a soma das medidas dos ângulos internos de qualquer polígono convexo, pode-se decompô-lo em triângulos.

Ao final, pode-se preencher uma ficha individual para cada aluno, como a sugerida a seguir.

Nome do(a) aluno(a):

1. Representou duas retas paralelas e uma transversal quando solicitado?

( ) Sim.

( ) Não.

2. Compreendeu que dois ângulos, dentre os formados por duas retas paralelas e uma transversal, podem ser congruentes ou suplementares entre si?

( ) Sim.

( ) Não.

3. Determinou a soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo?

( ) Sim.

( ) Não.

4. Compreendeu como determinar a soma das medidas dos ângulos internos de um polígono convexo por meio da decomposição deste em triângulos?

( ) Sim.

( ) Não.

5. Elaborou um fluxograma para descrever os procedimentos para construir um polígono regular?

( ) Sim.

( ) Não.

1. Na figura a seguir, as retas r e s são paralelas. Qual a medida de cada ângulo destacado?Para verificar se os alunos compreenderam e assimilaram os conceitos explorados nas aulas propostas nesta sequência didática, propor algumas atividades, como as sugeridas a seguir.

$\hat{A}$: 146°; $\hat{B}$: 34°; $\hat{C}$: 146°; $\hat{D}$: 34°; $\hat{E}$: 146°; $\hat{F}$: 34°; $\hat{G}$: 146°.

Elaborado pelo autor.

2. Qual a soma das medidas dos ângulos internos de um polígono regular de 15 lados? Qual a medida de cada ângulo desse polígono?

2 340°. 156°.

Ampliação

Pode-se trabalhar com os alunos a determinação da soma das medidas dos ângulos internos de qualquer polígono convexo a partir da quantidade de triângulos em que este pode ser decomposto ao se traçar as diagonais que partem de um mesmo vértice.

Nesse caso, é importante que os alunos percebam que a quantidade de triângulos obtida corresponde à quantidade de lados do polígono subtraída de duas unidades.

Assim, os alunos podem determinar a soma das medidas dos ângulos internos de qualquer polígono convexo conhecendo apenas a quantidade de lados que ele possui.

Fonte: FNDE